Solutions of time fractional anomalous diffusion equations with coefficients depending on both time and space variables

技术摘要：系数依赖于时空变量的时间分数阶反常扩散方程的解

问题陈述
反常扩散过程经常使用分数阶微分方程进行建模。虽然之前的研究已成功推导出了扩散系数仅依赖于空间变量的反常扩散方程的精确解，但在扩散系数依赖于空间和时间（即 $K(x, t) = cx^at^b$）的情况下，文献中仍存在空白。本研究解决了广义时间分数阶反常扩散方程的问题：
$$\frac{\partial^\alpha}{\partial t^\alpha}u(x, t) = t^m \left( A x^d \frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x, t) + B x^{d-1} \frac{\partial}{\partial x}u(x, t) + C x^{d-2}u(x, t) \right)$$
其中 $x > 0, t > 0$，$\alpha$ 是分数阶，$m$ 是非负整数，$d$ 是实数，$A, B, C$ 是实常数。该方程通过引入随时间变化的扩散率，推广了用于湍流介质和分形结构的模型。

方法论
作者采用了不变解方法结合特殊函数理论。其核心策略包括：

1. 变量代换： 应用形式为 $u(x, t) = x^a \phi(z)$ 的代换，其中 $z = x^{\frac{d-2}{\alpha+m}}t$，将偏微分方程（PDE）简化为具有变系数的线性分数阶常微分方程（ODE）。
2. 算子分解： 通过构造与微分算子相关的特征多项式来分析所得的 ODE。该算子被分解为由该多项式根构成的若干一阶算子的乘积。
3. 特殊函数表示： 使用 Fox H 函数和广义 Wright 函数求解简化的分数阶 ODE。作者利用特定的恒等式和微分性质（引用自文献 [10, 16, 17, 18, 19, 20]）来验证所提形式是否满足微分方程。
4. 分类讨论： 根据分数阶 $\alpha$ 与空间指数 $d$ 之间的关系，以及 $d$ 的取值（特别区分 $d \neq 2$ 和 $d = 2$ 的情况），推导并分类求解。

主要贡献与结果
本研究的主要贡献是推导出了方程 (1) 关于 Fox H 函数和广义 Wright 函数的显式精确解。主要结果呈现在定理 1 中，该定理在三种不同条件下给出了解：

1. 情况 $0 < \alpha < 2$ 且 $d \neq 2$： 解用 Fox H 函数表示为：
   $$u(x, t) = c_1 x^a H_{1, m+2}^{m+2, 0} \left[ \frac{x^{2-d}}{A(d-2)^2(\alpha+m)^m t^{\alpha+m}} \Bigg| \begin{matrix} (1, \alpha+m) \\ (-\frac{s_1}{\alpha+m}, 1), (-\frac{s_2}{\alpha+m}, 1), (\frac{j}{\alpha+m}, 1)_{1,m} \end{matrix} \right]$$
   其中 $s_1, s_2$ 是由变换得到的特征方程的根。

2. 情况 $\alpha > 2$ 且 $d \neq 2$： 解用广义 Wright 函数 ($\Psi$) 的有限和表示为：
   $$u(x, t) = x^a \sum_{k=1}^{[\alpha]+1} c_k x^{\frac{(d-2)(\alpha-k)}{\alpha+m}} t^{\alpha-k} \times {}_{m+3}\Psi_1 \left[ \dots \right]$$

3. 情况 $d = 2$： 解同样以广义 Wright 函数给出，其参数取决于常数 $K = Aa^2 - Aa + Ba + C$。

此外，推论 1 表明，对于 $\alpha = 1$ 且 $d \neq 2$ 的特定情况，并在选择特定参数 $a$ 时，解可以简化为指数函数形式。这使广义分数阶结果在特定极限下与经典扩散行为相联系。

意义与主张
作者指出，这项工作代表了对理解反常扩散的“显著进展”。通过将之前的精确解方法（受限于仅含空间相关系数的情况）扩展到包含时间相关系数的情况，本研究使得此前无法进行解析处理的过程建模成为可能。论文声称，这些以 Fox H 函数和广义 Wright 函数表示的显式解，为分析湍流介质和分形结构中扩散率随空间和时间变化的现象提供了严密的数学基础。该工作直接建立在关于空间相关系数的文献 [1–14] 以及关于特定湍流介质模型 [15] 的框架之上。