Non-onsite symmetry breaking: topological phase coexistence and criticality

本文研究了一维和二维空间中非原位对称性的自发对称性破缺，揭示了具有不同对称性保护拓扑序共存、长程纠缠和拓扑量子临界性的新相。

要点

以下是论文《非原位对称性破缺：拓扑相共存与临界性》的通俗化解读，辅以富有创意的类比。

核心思想：打破规则以创造新世界

想象你在组织一场盛大的舞会。通常，舞蹈规则很简单：每个人都在原地旋转（一条“原位”规则）。如果所有人都同时打破这一规则，舞会从混乱无序转变为整齐的队列舞。这就是物理学家所称的自发对称性破缺（SSB）。物质决定成为磁铁或超导体，正是基于这一机制。

但在这篇论文中，作者提出了一个奇怪的问题：如果规则本身就很奇怪，会发生什么？

假设规则不是让每个人原地旋转，而是：“如果你和邻居手拉手，你们必须互换位置。”这条规则同时涉及两个人，而不仅仅是关于一个人。作者将这种对称性称为**“非原位”对称性**。他们想看看，当这种奇怪的、涉及两人的规则被打破时，会涌现出什么样的“舞蹈”（物质状态）。

第一部分：一维舞会（一维链）

设定：
想象一排手拉手的人。那条“奇怪的规则”是：如果你观察整条线，谁和谁手拉手的模式会发生翻转。

发现：
通常，当对称性破缺时，你会得到一个特定的结果（比如所有人都面向北方）。但在这里，作者发现了一个神奇的现象：基态（最舒适的静止状态）是两种完全不同世界的叠加态。

• 世界 A： 每个人都只是简单地站成一排（一种“平凡”态）。
• 世界 B： 每个人都以复杂、打结的模式手拉手（一种“团簇态”或 SPT 序）。

类比：
想象一枚硬币，当它落地时，不仅仅显示正面或反面。相反，它落下的状态是：它同时是一枚完美光滑的硬币（世界 A）和一枚缠绕着复杂打结绳子的硬币（世界 B）。

论文证明了：

1. 共存： 系统不必在两者之间做出选择；它生活在两者的叠加态中。
2. 稳定性： 即使你轻微扰动系统（加入微小扰动），这种奇怪的“既/又”状态在达到某个点之前也能保持稳定。
3. 临界点： 如果你扰动得太厉害，系统就会断裂。它失去了“既/又”的性质，变成了一种“临界”相。这就像一座完美平衡在两崖之间的桥梁。如果你推得太远，它就会掉进一条纯粹的混沌河流（由共形场论描述的无能隙相）中，那里的事物不断波动，永不安定。

“电荷”问题：
在普通物理中，如果你打破了一条规则，你可以找到一个“带电”物体来证明这一点（比如磁极）。但因为这条规则太奇怪（非原位），证明破缺所需的“带电物体”不能是一个普通的、可逆的物体。这就像试图使用一把只能单向工作然后消失的钥匙。作者发现了一个特定的“非可逆”算符作为这一证明，表明系统具有无法用简单局部规则解释的长程连接。

第二部分：二维舞会（二维网格）

设定：
现在想象舞者们在一个蜂窝网格上（像蜂巢一样）。规则更加奇怪：“如果你和邻居形成一个闭合回路，你们必须互换位置。”

发现：
当这条规则被打破时，系统并没有只选择一种模式。它创造了一种**“汤”**。

类比：
想象一锅汤，其中的食材是一维“打结”弦的回路。

• 在普通的汤里，你有随机的面条。
• 在这锅"SPT 汤”里，面条实际上是微小的、打结的一维量子态（SPT）。
• 这些打结的回路到处漂浮，相互重叠并凝聚。

结果：
在一个环面（甜甜圈形状）上，存在四种不同版本的这种汤，如果你只看一小勺（局部视角），它们看起来完全一样。除非你观察整个甜甜圈，否则无法区分它们。

• 临界转折： 与通常的拓扑序（如环面码）不同，后者是刚性的且具有能隙（改变它需要“硬”能量成本），这锅汤是临界的。回路之间的连接衰减缓慢（代数衰减），就像信号在长距离上逐渐减弱，而不是瞬间消失。这是一种处于相变边缘的“液态”拓扑态，不断波动。

第三部分：如何制作（食谱）

作者还弄清楚了如何在实验室利用量子计算机制作这种状态。

协议：

1. 开始： 将所有量子比特（qubits）置于简单状态。
2. 测量： 对系统的某些部分进行测量。
3. 反馈： 根据测量结果，应用快速的“修正”（幺正门）。
4. 结果： 有 50% 的概率，你会得到完美的“平凡态与打结态叠加”状态。

难点：
虽然他们可以可靠地制作一维版本，但制作二维"SPT 汤”要困难得多。这就像试图只通过观察毛线球的一小部分来解开其中的结。这种二维汤中的“缺陷”（模式中的错误）非常顽固；无法通过简单、快速的移动轻易修复，使得二维版本更难完美制备。

“新物理”总结

• 非原位对称性： 这些是涉及邻居群体而非仅仅个人的规则。
• 共存： 打破这些规则会产生一种同时“简单”和“复杂”（平凡和拓扑）的状态。
• 临界性： 这种状态很脆弱。推得太猛，它就会变成一种临界的、波动的相（CFT），而不是一个稳固、稳定的相。
• SPT 汤： 在二维中，打破这些规则会产生一维结的“凝聚体”，导致具有长程代数关联（幂律衰减）而非短程序的状态。

简而言之，这篇论文发现了一类新的量子物质，其“游戏规则”如此相互交织，以至于打破它们会创造出一个秩序与混沌共存的混合世界，存在于一种微妙的临界平衡之中。

技术摘要

技术摘要：非局域对称性破缺：拓扑相共存与临界性

问题陈述
对称性是表征物质量子相的基本原理。虽然常规的全局对称性通常以“局域”方式实现（作为单点位幺正算符的乘积），但最近的发展凸显了“非局域”对称性的重要性，其对称生成元涉及重叠的多量子比特操作（例如受控-Z 门）。本研究解决的核心问题是：当此类非局域对称性发生自发对称性破缺（SSB）时，会产生何种物质态？具体而言，作者研究了一维（1D）中全局 $Z_2$ 非局域对称性以及二维（2D）中 1-形式非局域对称性的 SSB 后果。

方法论
作者结合解析构造、严格证明和数值模拟（密度矩阵重整化群 - DMRG）来探索这些相。

1. 一维模型构造：他们在周期性一维链上定义了一个全局非局域 $Z_2$ 对称性 $U_{CZ} = \prod_i CZ_{i,i+1}$。为了研究其 SSB，他们受 O'Brien-Fendley 模型启发，构造了一个无挫败的局域哈密顿量。该哈密顿量被设计为具有两个简并基态：平凡乘积态 $|+\rangle^{\otimes N}$ 和非平凡对称性保护拓扑（SPT）团簇态 $|cluster\rangle = U_{CZ}|+\rangle^{\otimes N}$。
2. 解析证明：作者利用改编自参考文献 [8] 和 Knabe 论证的技术，解析证明了在热力学极限下存在两重基态简并以及有限能隙。他们还证明，由此产生的长程纠缠基态（两个简并态的叠加）无法通过有限深度的幺正电路连接到乘积态。
3. 序参量：识别非局域 SSB 的序参量是一个关键的方法论挑战。作者证明，$U_{CZ}$ 的任何带电算符必须是非可逆的（由于对称生成元的迹非零）。他们显式构造了一个非可逆带电算符 $O_i = X_i(1 - Z_{i-1}Z_{i+1})$ 并计算了其长程关联。
4. 相图与临界性：他们向哈密顿量引入对称微扰以绘制相图。他们利用 DMRG 分析了从有能隙的 SSB 相到无能隙相的跃迁，通过拟合纠缠熵标度来提取中心荷，并分析关联函数以确定临界指数。
5. 二维扩展：作者将分析扩展到具有 1-形式非局域对称性（沿闭合回路的 $CZ$ 门乘积）的二维蜂窝晶格。他们构造了一个"SPT 汤”态——即沿回路的一维 SPT 序的凝聚态，并将该态的关联函数映射到临界的 $O(2)$ 回路模型。
6. 态制备：他们提出了一种恒定深度的测量 - 反馈协议，用于在热力学极限下以恒定成功概率制备一维叠加态。

主要贡献与结果

• 一维拓扑相共存：作者证明，全局非局域 $Z_2$ 对称性的自发破缺导致了一个有能隙相，其中平凡和非平凡的 SPT 序在基态子空间中共存。他们解析证明了该相具有有限能隙和两重简并性。
• 非可逆序参量：该工作确立了非局域对称性的 SSB 由非可逆带电算符进行诊断。他们表明，对于态 $|\psi\rangle \propto |+\rangle^{\otimes N} + |cluster\rangle$，非可逆算符 $O_i$ 的关联函数 $\langle O_i O_j \rangle$ 在长距离处饱和为一个非零常数，标志着长程有序。
• 临界性与共形场论（CFT）：在对称变形下，系统经历向无能隙相的跃迁。数值结果表明该相由 $c=1$ 共形场论描述。作者确定了分隔 SSB 相和无能隙相的临界点，并推测其对应于 $SU(2)_1$ CFT。他们还表明，临界指数在无能隙相内连续变化，这与通过玻色化进行的边际微扰分析一致。
• 二维 SPT 汤与代数关联：在二维中，1-形式非局域对称性的 SSB 产生了"SPT 汤”态。在环面上，该态表现出四个局部不可区分的基态。与具有局域有能隙母体（如环面码）的拓扑序不同，SPT 汤在局域算符之间具有代数（幂律）关联。通过将系统映射到临界的 $O(2)$ 回路模型，作者推导出两点关联函数按 $1/|i-j|$ 衰减。
• 基于测量的制备：作者提出了一种利用线路中间测量和反馈的协议，用于在热力学极限下以恒定成功概率（$1/2$）制备一维叠加态 $|+\rangle^{\otimes N} \pm |cluster\rangle$，且该概率与系统尺寸无关。他们指出，虽然全局符号是概率性的，但由于局部不可区分性，局域可观测量是确定性制备的。

意义
该论文声称揭示了由非局域对称性自发破缺产生的新颖物质量子态，这些态与常规 SSB 有着根本区别。

• 新颖相：它识别了一个由不同 SPT 序共存为特征的有能隙相，这种现象通常不与标准对称性破缺相关联。
• 新诊断工具：它引入了非可逆带电算符作为诊断非局域对称性破缺中长程有序的关键工具，将其与标准幺正序参量区分开来。
• 拓扑量子临界性：二维"SPT 汤”提供了“拓扑量子临界性”的一个例子，其中一种态表现出长程纠缠和代数关联，而没有局域有能隙母体哈密顿量，从而架起了 SPT 相与临界现象之间的桥梁。
• 实验相关性：所提出的恒定深度测量 - 反馈协议为在支持线路中间测量的近期量子设备（例如超导量子比特或囚禁离子）上构建和研究这些奇异态提供了一条可行途径。

作者对未来影响保持谦逊态度，指出 1-形式非局域对称性与 SPT 汤临界性之间的联系需要进一步研究，并且在恒定深度下确定性制备二维 SPT 汤仍然是一个未解决的问题。他们还建议，对称拓扑场论（SymTFT）框架为理解这些相提供了有前景的视角，尽管完整的分类留待未来工作完成。