Constraining the $f$-mode oscillations frequency in Neutron Stars through Universal Relations in the realm of Energy-Momentum Squared Gravity

要点

想象一下，宇宙是一个巨大的宇宙实验室。在这个实验室里，存在着一些可以想象到的最极端的物体：中子星。它们是质量巨大的恒星坍缩后留下的、密度极高的核心。它们如此沉重，以至于一茶匙它们材质的重量在地球上就高达十亿吨。由于它们如此致密，其引力异常强大，因此是测试引力运作规则的完美场所。

长期以来，科学家一直使用爱因斯坦的广义相对论（GR）来描述引力。它运行得很好，但存在一些漏洞，尤其是在处理宇宙最初阶段或黑洞中心时。因此，科学家们正在寻找“备选理论”，以观察它们是否能更好地符合观测数据。

这篇论文探讨了这样一种备选理论，称为能量-动量平方引力（EMSG）。

星星的“食谱”

要理解一颗中子星，你需要一个食谱。在物理学中，这个食谱被称为状态方程（EOS）。它告诉我们恒星的物质在极端压力下是如何表现的。作者测试了三种不同“口味”的食谱：

• 硬（Stiff）： 像一块非常坚硬、不屈不挠的岩石。
• 软（Soft）： 像一块松软的海绵。
• 中间型（Intermediate）： 介于两者之间。

新的配料：参数“$\alpha$”

这项研究的主要转折在于加入了一个新的引力配料，称为 $\alpha$（阿尔法）。

• 在标准的爱因斯坦引力中，这个配料为零。
• 在这个新理论（EMSG）中，$\alpha$ 可以是一个微小的正数或一个微小的负数。

把 $\alpha$ 想象成引力的音量旋钮。

• 如果你把旋钮调向正值，引力会变得更“硬”（恒星抵抗被挤压的能力更强）。
• 如果你把它调向负值，引力会变得更“软”（恒星更容易被挤压下去）。

星星的“歌唱”

中子星并不只是静止不动；它们会振动。想象一下敲击一个钟。它会发出特定的音调。中子星也会“鸣响”，但它们发送的不是声音，而是被称为引力波的时空涟波。

恒星发出的特定“音调”或频率被称为 f-模态（f-mode）。

• 目标： 作者想要弄清楚，如果宇宙遵循这种新的 EMSG 理论而非标准的爱因斯坦规则，中子星会唱出什么样的“音调”。
• 发现： 他们发现，恒星的“音调”取决于 $\alpha$ 旋钮。
  • 正 $\alpha$： 恒星变得更难变形，因此它唱出的是较低的音调（较低的频率）。
  • 负 $\alpha$： 恒星变得更容易变形，因此它唱出的是较高的音调（较高的频率）。

通用的“作弊码”

中子星最酷的一点是它们遵循“通用关系”（Universal Relations）。这些关系就像是作弊码或捷径。

• 尽管我们不知道某颗特定恒星的确切食谱（EOS），但我们知道它的尺寸、重量和歌唱音调在数学上是相互关联的。
• 作者利用这些联系创建了一张地图。如果我们知道在碰撞过程中恒星如何摆动（潮汐可变形性），我们就可以预测它应该唱出什么样的音调。

进行测试

作者使用了来自两个著名的宇宙碰撞事件的真实数据，这些事件由引力波天文台探测到：GW170817 和 GW190814。

1. 他们使用“通用关系”来计算这些事件对应的“歌唱音调”（f-模态频率）。
2. 他们检查了当调节 $\alpha$ 旋钮（新的引力理论）时，这个音调是如何变化的。
3. 结果： 他们发现新理论（EMSG）改变了预测的音调。例如，在标准理论（爱因斯坦）下，一颗 1.4 倍太阳质量的恒星可能会以约 2.66 kHz 的频率歌唱。而在新理论下，根据 $\alpha$ 是正还是负，这个音调可能会向上或向下偏移。

相变惊喜

研究还观察了当压力变得极其高时，恒星内部会发生什么。

• 他们发现，对于“硬”食谱，恒星会在极高密度下经历一次相变（类似于水变成冰，但这是针对恒星物质的）。
• 这发生在不同的深度，取决于食谱和 $\alpha$ 旋钮。这就像是在蛋糕里发现了一层隐藏的巧克力层，而这层巧克力只有在特定的烘焙温度下才会出现。

核心结论

这篇论文并不是声称发现了新的恒星，或者改变了我们建造桥梁的方式。这是一种理论性的练习。它在说：
“如果引力的运作方式与爱因斯坦所想的略有不同（具体而言，通过这个 EMSG 理论），那么中子星的振动频率会与我们目前的预测略有不同。”

通过在未来聆听中子星的“歌声”，天文学家或许能够判断 $\alpha$ 旋钮是被调高了、调低了，还是实际上为零（这意味着爱因斯坦始终是对的）。这篇论文提供了一张数学地图，帮助我们去聆听这些差异。

技术摘要

技术摘要：通过能量-动量平方引力中的普适关系约束中子星 f-模振荡

问题陈述
中子星（NS）是测试高曲率机制下引力理论的极端天体物理实验室。尽管广义相对论（GR）取得了成功，但关于暗物质、暗能量以及奇点等未解决的问题，促使人们探索修正引力理论。特别是能量-动量平方引力（EMSG），它通过引入涉及能量-动量张量（$T_{\mu\nu}T^{\mu\nu}$）的非线性项对 GR 进行了扩展，为探测密集物质环境中的 GR 偏离提供了框架。一个关键挑战是在 EMSG 框架下约束中子星基本模（f-mode）振荡频率。虽然在 GR 中，将振荡频率与宏观性质（如紧凑度和潮汐变形性）联系起来的普适关系（URs）已经建立，但这些关系在 EMSG 中的行为和适用性，特别是关于自由参数 $\alpha$ 的表现，目前仍有待探索。

方法论
本研究采用多步理论与数值方法：

1. 理论框架： 作者通过修改包含 $\alpha T_{\mu\nu}T^{\mu\nu}$ 项的 Einstein-Hilbert 作用量来推导 EMSG 的场方程。这导致了修正后的 Einstein 场方程，其中标准的能量-动量张量被包含有效能量密度（$E_{eff}$）和有效压力（$P_{eff}$）的有效张量（$T^{\mu\nu}_{eff}$）所取代。
2. 流体静力平衡： 推导并数值求解修正的 Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) 方程。研究使用了三种不同的状态方程（EOS）：硬（Stiff）、中等（Intermediate）和软（Soft）。自由参数 $\alpha$ 在范围（$-5.01 \times 10^{-38}$ 到 $+5.01 \times 10^{-38}$ cm$^3$/erg）内变化，以生成质量-半径关系。
3. 非径向振荡： 在 Cowling 近似下（忽略度规扰动），作者求解了非径向振荡的线性化扰动方程。研究特别关注四极矩（$l=2$）f-模频率，利用了 EMSG 框架中导出的有效能量和压力。
4. 普适关系 (URs)： 研究建立了两个关键的 URs：
   • f-Love 关系： 归一化 f-模频率（$\bar{\omega}$）与潮汐 Love 数（$\Lambda$）之间的相关性。
   • C-f 关系： 星体紧凑度（$C = M/R$）与 f-模频率之间的相关性。
     这些关系使用针对各种 $\alpha$ 值的最小二乘多项式拟合进行拟合。
5. 约束： 利用来自引力波事件 GW170817 和 GW190814 的观测数据（特别是其潮汐变形性约束），作者应用导出的 URs 来约束质量为 $1.4 M_{\odot}$ 的典型中子星的 f-模频率（$f_{1.4}$）。

主要贡献

• 推导 EMSG TOV 方程： 本文提供了包含 $\alpha$ 参数的显式修正 TOV 方程，并针对多种 EOS 模型进行了求解。
• 建立 EMSG 普适关系： 本工作首次在 EMSG 框架内研究并量化了 f-Love 和 C-f 普适关系。它展示了这些关系如何依赖于 $\alpha$ 的符号和大小。
• 频率约束： 研究成功约束了 EMSG 下典型中子星的 f-模振荡频率，并将其与 GR 预测及以往文献进行了比较。
• 相变分析： 对压力-密度剖面的分析揭示了硬、中等和软 EOS 之间截然不同的二阶相变，其中硬 EOS 在最高能量密度下发生转变。

结果

• $\alpha$ 对振荡的影响： f-模频率表现出对 $\alpha$ 的明显依赖性。对于固定的质量，随着 $\alpha$ 变得更正，频率降低；随着 $\alpha$ 变得更负，频率增加。
• 普适关系的稳健性： f-Love 和 C-f 关系在 EMSG 中仍然有效，但表现出随 $\alpha$ 变化的 EOS 敏感性。研究发现，负 $\alpha$ 值增强了 f-Love 关系的 EOS 不敏感性，而正 $\alpha$ 值增加了约化卡方（$\chi^2_r$）误差，表明与 GR（$\alpha=0$）情况相比，其普适性略有下降。
• 典型频率： 对于 GR 情况（$\alpha=0$），研究推断出 GW170817 的典型 f-模频率为 $f_{1.4} = 2.659^{+0.458}_{-0.491}$ kHz，GW190814 为 $2.143^{+0.127}_{-0.153}$ kHz。这些值比之前的一些 GR 研究高出约 30-35%，作者将此差异归因于本研究使用的是 Cowling 近似，而其他研究使用的是全 GR 形式体系。
• 质量-半径约束： 利用 C-f UR，作者绘制了允许的质量-半径（$M-R$）区域。他们发现，对于固定的频率，正 $\alpha$ 值通常导致较小的半径（较高的紧凑度），而负 $\alpha$ 值导致较大的半径。
• 声速： 跨越星体半径的声速剖面（$c_s^2$）在所有测试的 $\alpha$ 值下均满足因果律（$c_s^2 \leq 1$）和共形极限，证实了模型的物理有效性。

意义与主张
本文声称，与 GR 相比，EMSG 引入了对中子星宏观性质的显著修改，改变了 EOS 的硬度，从而影响了质量-半径关系、潮汐变形性和振荡频率。研究认为，在 EMSG 中推导出的普适关系为测试替代引力理论提供了一个可行的工具。通过使用来自 GW170817 和 GW190814 的观测数据来约束 f-模频率，这项工作表明，未来的引力波观测有可能通过探测振荡频率和潮汐变形性的偏差来区分 GR 和 EMSG。作者得出结论，EMSG 为研究强场引力和致密物质提供了一种引人注目的方法，并具有通过未来引力波观测验证或约束该理论的潜力。