Relativistic magnetohydrodynamics in the early Universe

技术摘要：早期宇宙中的相对论性磁流体力学

问题陈述
研究早期宇宙中的原初磁场、流体扰动以及引力波产生，通常依赖于磁流体力学（MHD）模拟。从历史上看，这些模拟往往基于亚相对论性体流运动（$u^2 \ll 1$）的假设，并频繁假设洛伦兹因子 $\gamma^2 \approx 1$ 的极限情况。虽然这种近似在物质主导的流体中成立，但在辐射主导时期或当状态方程参数 $c_s^2$ 接近 1 时（例如 $c_s^2 = 1/3$），会引入未被检验的误差。以往的公式往往忽略了洛伦兹因子的时间导数（$\partial_\tau \gamma^2$），从而导致缺失了量级为 $U^2/\ell$（其中 $U$ 和 $\ell$ 分别是特征速度和长度尺度）的非线性项。这些遗漏影响了能量与动量的守恒、涡度的产生以及 MHD 波的传播速度，若不进行修正，可能会导致超光速阿尔芬速度（Alfvén speeds）的出现。

方法论
作者在均匀、各向同性且膨胀的弗里德曼–莱梅特–罗伯逊–沃尔克（FLRW）背景下推导了 MHD 的守恒定律。该工作通过以下理论步骤展开：

1. 几何框架： 使用共形时间 $\tau$ 和共动坐标建立 FLRW 度规，允许使用通用的 $\alpha$-时间定义来探索不同流体变量的缩放特性。
2. 完美流体动力学： 作者推导了具有恒定状态方程 $p = c_s^2 \rho$ 的完美流体的运动方程。他们以两种形式呈现了这些方程：
   • 守恒形式： 演化应力-能量张量分量 $\tilde{T}^{0\mu}$。
   • 非守恒形式： 演化本征变量（共动能量密度 $\tilde{\rho}$ 和特有速度 $u$）。
     至关重要的是，推导过程中保留了涉及 $\partial_\tau \gamma^2$ 和 $\partial_\tau u^2$ 的项，而这些项在亚相对论极限下通常会被丢弃。
3. 非完美流体： 利用经典不可逆热力学（CIT）方法，将框架扩展到包含一阶非完美流体效应（粘性和热传导），提供了纳维-斯托克斯粘性和傅里叶热传导的协变表达式。
4. 电磁学： 在膨胀背景下回顾了麦克斯韦方程组，引入了共动电磁场（$\tilde{E}, \tilde{B}$）和协变广义欧姆定律。通过分析位移电流，证明了在早期宇宙高电导率机制下的理想 MHD 极限的合理性。
5. MHD 耦合： 通过洛伦兹力将流体方程与麦克斯韦方程耦合。作者通过分析线性扰动来研究声波、阿尔芬波和磁声波。
6. 修正： 适配了一种“鲍里斯修正”（Boris correction）于相对论性 MHD 背景，以确保即使在忽略位移电流时，阿尔芬速度仍保持亚光速。

主要贡献与结果

• 修正后的亚相对论方程： 本文证明了以往的亚相对论 MHD 方程（例如用于 Pencil Code 的方程）在对流项 $(u \cdot \nabla) \ln \tilde{\rho}$ 和速度项的系数上存在误差。具体而言，$\gamma^2$ 的时间导数在辐射主导流体（$c_s^2 = 1/3$）中引入了一个 $1/2$ 的修正因子，并修改了针对通用 $c_s^2$ 的系数。修正后的非守恒形式方程在式 (1.2) 和 (6.31) 中给出。
• 涡度产生： 作者表明，在早期宇宙中，涡度（$\omega = \nabla \times u$）不再是拓扑不变量。即使在没有外部强迫和斜压项的情况下，由于涉及 $c_s^2 \neq 0$ 的相对论修正以及宇宙的膨胀，涡度也可以从初始无旋的速度场中产生。
• 缩放与共形不变性： 本文回顾了各种流体变量的缩放方式（共动、超共动）以最小化哈勃摩擦项。研究发现，对于 $c_s^2 \neq 1/3$ 的亚相对论流，特定的缩放（$\beta = 3(1+c_s^2)$）可以使能量方程变为共形平坦，而动量方程仍保留哈勃摩擦项。
• 相对论性阿尔芬速度与鲍里斯修正： 分析显示，在理想 MHD 中忽略位移电流会导致当 $B_0^2/\rho_0$ 较大时出现超光速阿尔芬速度（$v_A > 1$）。作者将鲍里斯修正适配到相对论性 MHD 方程中，通过修改动量方程，确保 $v_A \to v_A \gamma_A \leq 1$，其中 $\gamma_A = (1+v_A^2)^{-1}$。
• 输运系数： 文中回顾了原初等离子体中剪切粘度、体粘度和热传导的估算，确认了在宏观尺度上等离子体实际上是完美流体，尽管为了实现现实的湍流建模，耗散效应是必要的。

意义
这项工作提供了第一个在膨胀背景下包含此前被忽视的亚相对论极限修正的完全相对论性 MHD 方程描述。作者声称，这些修正不仅是高阶相对论效应，而且与非线性流体动力学中的对流导数处于同一量级。因此，本文认为，未来的早期宇宙磁流体力学模拟，特别是涉及辐射主导流体或高能阶段的模拟，必须纳入这些修正项，以准确模拟非线性动力学、湍流和涡度产生。所推导的方程为 Pencil Code 和 CosmoLattice 等数值代码的后续发展提供了理论基础。