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A Neural Operator-Based Approach to Symbolic Discovery of PDEs

本文介绍了一种名为 NOMTO 的新颖框架，该框架将预训练神经算子集成到符号架构中，以发现涉及非局部算子、辅助场耦合和时间记忆效应的复杂系统的紧凑控制方程，从而克服了传统方法受限于局部导数的局限性。

原作者： Sergei Garmaev, Olga Fink

发布于 2026-06-23

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原作者： Sergei Garmaev, Olga Fink

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象你是一名试图弄清楚支配复杂系统行为的秘密规则手册的侦探。在物理学中，这个“规则手册”通常是一个数学方程。长期以来，科学家们一直使用数据驱动的方法来寻找这些方程，但他们遇到了一个瓶颈：他们的工具只能理解基于**局部（local）**信息的规则。

把“局部”想象成观察屏幕上的单个像素。你可以看到这个像素是红色还是蓝色，也能看到它旁边的像素是否不同。但你无法看到全貌，也无法理解屏幕一角的变化如何影响另一侧。许多现实世界的系统（比如热量如何在材料中扩散或人群如何移动）都依赖于**非局部（non-local）**信息——即发生在一个点的情况取决于整个系统，而不仅仅是其紧邻的邻居。

这篇论文介绍了一种名为 NOMTO（基于神经算子的符号模型近似与发现）的新型侦探工具。它是这样运作的，这里使用简单的类比：

问题所在：“仅限局部”的词典

传统的发现方程的方法，就像是一个试图用一本只包含“此处”和“此时”单词的词典来写故事的作家。他们可以写出“球向右移动”或“水变热了”这样的句子，但他们很难写出“球之所以移动，是因为三英里外有风在吹”或“水的温度取决于一小时前发生了什么”这样的句子。

如果底层的物理机制涉及非局部效应（如长程力）或记忆（即过去如何影响现在），这些旧工具就会失效，因为它们没有能够描述这些现象的“词汇”。

解决方案：NOMTO 的“智能工具箱”

NOMTO 通过为侦探提供一套**预训练的“智能工具箱”**来解决这个问题。

预训练阶段： 在侦探开始解决具体的案件之前，他们先雇佣专家（神经算子）来精通特定的、困难的任务。
- 一位专家学习如何计算“分数扩散”（一种复杂的热扩散方式）。
- 另一位专家学习如何求解“泊松方程”（电场或引力场如何相互作用）。
- 第三位专家学习“遗传记忆”（材料如何记住其过去的拉伸过程）。
- 一旦这些专家接受了训练，他们就会被冻结。他们成为了侦探可以使用的固定、可靠的工具，但侦探不需要重新学习它们是如何工作的。
发现阶段： 现在，侦探（NOMTO）构建一个“符号图”。把它想象成一个流程图或一个食谱。
- 侦探拥有一个基础原料库（比如加法、乘法和求导）。
- 至关重要的是，侦探也可以将这些智能工具箱作为原料使用。
- 侦探尝试不同的组合：“也许答案是 2 倍的输入，加上‘分数扩散’工具箱的输出？”或者“也许它是应用于应变的‘记忆’工具箱？”
- 系统利用数学方法来确定哪种组合最符合数据，以及哪些“原料”是真正需要的。它会剪掉不必要的原料，留下一个简洁、简单的方程。

结果：解决三个棘手的案例

作者测试了 NOMTO 对处理三个旧工具无法解决的“不可能”谜题的能力：

分数扩散（Fractional Diffusion）： 想象一滴墨水在水中扩散，但不是以正常方式扩散——它是以一种“模糊的”、长程的模式扩散。旧工具无法描述这种现象。NOMTO 成功识别出该规则涉及一个特定的“非局部”算子，找到了确切的公式。
欧拉-泊松系统（Euler-Poisson System）： 想象一群人，每个人的移动都取决于整个人群的密度，而不只是身边的人。这需要求解一个隐藏的“场”方程。NOMTO 推导出运动规则包含一个“泊松梯度”工具，有效地表达了：“速度取决于全局密度场。”
遗传粘弹性（Hereditary Viscoelasticity）： 想象一块口香糖。它如何弹回，不仅取决于你现在拉它的力度，还取决于你过去是如何拉它的。这是“时间记忆”。NOMTO 找到了包含“记忆积分”工具的规则，正确地识别出材料的应力取决于其整个历史。

为什么这很重要

该论文声称，NOMTO 弥合了黑盒 AI（擅长预测但难以解释）与符号发现（擅长解释但局限于特定范围）之间的鸿沟。

通过将复杂的、已学习的 AI 模型视为固定的、可重复使用的构建模块（就像预制的乐高积木），而不是试图从头开始构建整个方程，NOMTO 可以发现此前难以触及的系统的演化规律。它不仅仅是预测将会发生什么，它还能写下实际的数学规则，即使这个规则涉及观察整个系统或记住过去。

简而言之：NOMTO 是一个可以通过使用预训练的 AI 专家作为其词汇，来为复杂的、长程的以及依赖记忆的系统编写“物理定律”的系统。

技术摘要：基于神经算子的符号 PDE 发现方法

问题陈述
现有的符号模型发现方法（如 Equation Learner (EQL) 和稀疏回归方法，如 PDE-FIND）在本质上受限于其对局部解析函数库的依赖。这些方法通过点值量（包括场值、局部导数和代数组合）来构建候选方程。虽然对于经典的偏微分方程（PDEs）非常有效，但它们无法发现涉及非局部相互作用、积分算子、辅助场方程或时间记忆效应的控制律。许多物理系统——例如由分数扩散、耦合场系统或遗传粘弹性控制的系统——依赖于作用于整个函数空间而非局部点的算子，这使得它们无法被当前的符号发现框架所获取。

方法论：NOMTO
作者提出了 NOMTO（基于神经算子的符号模型近似与发现，Neural Operator-based symbolic Model approximaTion and discOvery），该框架通过引入预训练的神经算子作为符号原语，扩展了 EQL 的架构。

架构： NOMTO 将候选方程表示为稀疏且可微的计算图。与标准 EQL 不同（其节点仅应用预定义的代数或局部微分操作），NOMTO 允许选择特定的节点实现为预训练的神经算子代理。这些代理作用于离散化函数，并在相同的网格上返回离散化的算子输出。
学习与发现的分离： 一个核心设计原则是将算子学习与方程发现解耦。
1. 预训练： 神经算子（特别是傅里叶神经算子 [FNO]、卷积神经算子 [CNO] 和全连接神经网络 [FNN]）被独立训练，以近似特定的物理算子（例如分数拉普拉斯算子、泊松-梯度映射、遗传记忆积分）。随后，这些代理被冻结。
2. 符号优化： 在发现阶段，代理节点保持固定。优化过程仅调整连接图中节点的、可训练的标量权重。
优化策略： 该框架采用一种从粗糙到稀疏的范式，包含三个阶段：
1. 稠密训练： 在没有稀疏性约束的情况下，对完整图进行训练以拟合目标动力学。
2. 稀疏化： 在损失函数中添加 $\ell_1$ 惩罚项，并剪枝低于特定幅值的权重，以识别稀疏结构。
3. 重拟合： 在没有稀疏性惩罚的情况下对剪枝后的图进行重新训练，以精炼活跃路径的系数。
表达式提取： 训练完成后，移除微不足道的权重，并将剩余的活跃图转化为显式的符号方程。生成的表达式结合了标准代数项与预训练神经算子代理的符号表示（例如 $\hat{G}^a_m$ ）。

关键结果
NOMTO 在三个需要非局部或依赖历史算子的不同物理系统上进行了评估：

分数扩散（Fractional Diffusion）： 该系统涉及一个分数拉普拉斯算子，即一种非局部空间算子。NOMTO 成功恢复了控制方程 $u_t \approx -\hat{\kappa} \hat{G}^a_{L_s}[u]$ 。基于 FNO 的代理实现了最高的精度（相对均方误差 Relative MSE 为 $9.47 \times 10^{-6}$ ），并正确识别了系数 $\hat{\kappa} = 1.00$ 。
欧拉-泊松系统（Euler-Poisson System）： 该系统将局部输运方程与源自辅助泊松方程的非局部力项耦合在一起。NOMTO 成功恢复了局部对流项和非局部泊松-梯度耦合。CNO 代理实现了最低的动量方程误差（Relative MSE 为 $3.245 \times 10^{-4}$ ），同时所有架构都正确识别了符号结构和系数。
遗传粘弹性（Hereditary Viscoelasticity）： 此案例涉及一个带有时间记忆积分的本构关系。NOMTO 成功发现了结构 $\sigma(t) = E\varepsilon(t) + A\hat{G}^a_H[\varepsilon](t)$ ，并高精度地恢复了瞬时弹性模量和记忆振幅。

在所有案例中，NOMTO 在结构正确性和系数恢复方面均优于或等同于标准神经网络代理（FNN），证明了预训练算子可以作为复杂物理机制的可靠符号代理。

意义与主张
论文声称 NOMTO 代表了从“函数符号发现”向“算子值物理定律符号发现”的转变。通过将学习到的算子作为固定且可微的节点嵌入到稀疏符号图中，该框架：

扩展了可发现类别的范围： 它将符号发现从局部的微分库扩展到了包含非局部空间算子、辅助场映射和时间记忆效应的控制律。
保持了可解释性： 尽管使用了神经网络，最终输出仍是一个可解释的符号方程，其中非局部机制的角色是明确的。
实现了模块化： 算子学习与方程发现的分离使得算子库可以在不同的发现任务中重复使用，并有助于通过选择候选算子来引入先验物理知识。

作者承认了局限性，指出恢复模型的保真度取决于代理算子的准确性，且构建算子库仍需要一定程度的关于可能物理机制的先验知识。然而，这项工作为将算子学习的进展与可解释的科学机器学习相结合建立了一条路径。

问题所在：“仅限局部”的词典

解决方案：NOMTO 的“智能工具箱”

结果：解决三个棘手的案例

为什么这很重要

技术摘要：基于神经算子的符号 PDE 发现方法

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