Undulatory underwater swimming: Linking vortex dynamics, thrust, and wake structure with a biorobotic fish

本研究通过粒子图像测速技术实验性地研究了仿生机器鱼的尾迹动力学，旨在展示斯特劳哈尔数如何支配涡环特性、尾迹结构与推力产生之间的关系，并最终建立一个关于波动式水下游泳的通用模型。

要点

想象一只机器鱼正在一个巨大的、透明的水流隧道中游泳。它实际上并没有向前移动；相反，它的头部被固定住了，而水流则从它身边疾驰而过。它的尾巴像真正的鱼一样前后摆动。科学家们想要了解这个尾巴在水中留下的无形“足迹”，以及这些足迹如何与其产生向前的推力（thrust）相联系。

这里是他们发现的研究成果，用简单的语言进行了解释：

1. 水中的无形之舞

当鱼的尾巴摆动时，它不仅仅是在向后推水，还会将水旋转成一个个被称为**涡旋（vortices）**的小型龙卷风。你可以把它们想象成你在魔术师帽子里看到的那些旋转的烟圈，只不过它们是由水组成的。

• 低速摆动： 当尾巴摆动较慢时，这些水流龙卷风会排列成一种锯齿状的模式，类似于小船缓慢行驶时留下的尾迹。这会产生一种“阻力”效应，使物体减速。
• 高速摆动： 随着尾巴摆动得更快、更用力，模式发生了变化。水流龙卷风开始两两配对并向斜后方喷射，形成一个V形。这就是“推力”模式，此时鱼实际上是在推动自己向前移动。

科学家们发现，预测会出现哪种模式的关键不仅仅在于尾巴摆动的速度，而是一个被称为**斯特劳哈尔数（Strouhal number）**的特定比例。你可以把这个数字看作是一个“摆动配方”，它结合了尾巴摆动的幅度、摆动的频率以及水流的速度。

2. 旋流速度与射流速度

研究人员使用高速摄像机和激光器对水的速度进行了快照捕捉。他们发现了一个关于水流龙卷风的速度与它们产生的“射流（jet）”速度之间迷人的联系。

• 类比： 想象水流龙塞尔就像是在跑道上奔跑的运动员。而“射流”则是为他们加油助威的人群。科学家们发现，人群欢呼的速度（射流）与运动员（涡旋）的速度几乎完全匹配。
• 发现： 通过测量这些水流龙卷风移动的速度，他们可以精确地计算出这只鱼产生了多少“推力”（thrust）。如果水流龙卷风的移动速度比流经鱼身的水速更快，说明鱼正在产生推力；如果它们移动得更慢，则说明鱼正在受到阻力。

3. 一个简单的几何规则

这项研究最令人兴奋的部分在于，科学家们发现了一个可以解释尾迹形状的简单几何规则。

• 隐喻： 想象水流龙卷风就像是在路上行驶的汽车。路本身正在向前移动（自由流速），但汽车也有自己的引擎在向侧面驱动（涡旋的自推进速度）。
• 结果： V形尾迹张开的角度，是由“路”移动的速度与“车”向侧面行驶的速度之比决定的。科学家们基于这个想法建立了一个简单的数学模型，而且效果非常好。它预测了实验中机器鱼的尾迹角度，甚至与关于真实鱼类和其他机器人游泳者的其他研究数据相吻合。

4. 为什么这很重要（根据论文所述）

论文得出结论，这种“摆动配方”（斯特劳哈尔数）是一个普遍规律。无论是机器鱼、真实的鱼，还是扇动的翅膀，水流旋转的方式以及尾迹的角度几乎完全取决于这个数字。

作者们认为，这有助于我们理解鱼类是如何相互作用的。如果一条鱼游在另一条鱼的后面，它实际上是在这些无形的V形水流隧道中游泳。了解这些水流隧道的角度和速度，有助于解释鱼类如何通过“冲浪”在同伴留下的尾迹上来提高游泳效率，或者它们如何通过避开错误的区域来避免“阻力”。

简而言之： 论文表明，通过观察摆动的尾巴后方水流的旋转方式，我们可以利用一个基于旋转速度和角度的简单规则，准确地预测尾巴产生了多少推力。

技术摘要

问题陈述
基于摆动（flapping）的推进系统，例如用于波动式水下游泳者（鱼类、鲸目动物）的系统，依赖于流固耦合来产生推力。虽然二维（2D）尾迹的动力学以及斯特劳哈尔数（$St$）在控制涡流组织中的作用已得到充分研究，但涡流动力学、推力产生与三维（3D）尾迹的具体结构之间的联系仍未得到完全理解。先前的研究已经确定了低长径比摆动物体的不同尾迹模式（例如 2S 和 2P），但缺乏一个能够连接涡流速度定量演化、尾迹几何形状（角度、取向）以及跨越广泛斯特劳哈尔数范围内的推力产生的综合框架。具体而言，时间平均射流速度、瞬时涡流速度以及 3D 尾迹中阻力与推力转变之间的关系仍需进一步研究。

方法论
作者通过实验研究了在水槽中被系留的机器人鱼所产生的尾迹。该机器人鱼由一个刚性头部、一个伺服电机和一个长径比约为 1.7 的 3D 打印软尾组成。鱼体固定在实验室坐标系中，同时改变自由流速度（$U_0$）。

• 参数空间： 研究系统地改变了尾部振幅（$A$）、频率（$f$）和自由流速度（$U_0$），覆盖了从 0.1 到 2.2 的斯特劳哈尔数范围（$St_A = fA/U_0$）。该范围超出了典型的生物范围（0.2–0.4），以捕捉阻力与推力转变过程。
• 测量： 在鱼体后方的水平中剖面处进行了二维粒子图像测速技术（2D PIV），以捕捉涡量和速度场。力传感器测量了瞬时净力（$F = F_T - F_D$），用以确定推力和阻力状态。
• 数据处理： 从相均相（phase-averaged）涡量场中提取了涡流位置、环量（$\Gamma$）、取向角和速度。利用时间平均速度场来识别射流结构。作者将均方根（RMS）射流速度与涡流速度进行比较，以考虑波动分量。

核心贡献与结果

1. 涡流速度与推力产生：

   • 研究建立了涡流速度与推力之间的强耦合关系。研究表明，时间平均场中射流速度的均方根近似等于涡流速度（$U_{vortex} \approx \sqrt{\langle U_{jet}^2 \rangle}$）。
   • 利用围绕鱼体的控制体进行动量平衡方程建模，作者将横向涡流速度（$U_{vortex}$）表示为 $St_A$ 的函数。该模型成功预测了在低 $St_A$ 时 $U_{vortex}/U_0$ 近乎恒定，而在高 $St_A$ 时增加。
   • 分析显示，“射流反转”（即时间平均射流速度等于自由流速度，$U_{vortex} = U_0$）发生的斯特劳哈尔数（$St_{inv} \approx 0.36$）略低于阻力-推力转变的关键斯特劳哈尔数（$St^* \approx 0.48$）。这种偏移归因于涡流速度的横向分量，它对动量平衡中的压力项有所贡献。

2. 通用尾迹结构模型：

   • 作者提出了一个简单的几何框架，其中涡对速度是自由流速度与涡对自诱导速度（偶极子速度）的矢量和。
   • 该模型将尾迹角（$\theta$）和涡对取向角（$\alpha$）直接与涡流速度联系起来。
   • 来自机器人鱼的尾迹角和取向角实验数据，结合来自各种配置（数值模拟、其他机器人鱼、摆动板）的文献数据，在以斯特劳哈尔数作图时合并到了通用的主曲线（master curves）上。这表明 3D 低长径比游泳者的尾迹结构受 $St_A$ 主导，且在很大程度上独立于雷诺数、精确的体型或游泳模式。
   • 模型预测，随着 $St_A$ 的增加，涡对取向（$\alpha$）从负值变为正值，并在射流反转点（$St_{inv}$）穿过零点。

3. 环量与涡直径定标：

   • 研究调查了涡环环量（$\Gamma$）的定标。虽然先前关于摆动板的研究表明存在运动学定标（$\Gamma \sim fA^2$），但作者发现对于波动式机器人鱼，环量更适合由运动学和静态定标结合来描述：$\Gamma \sim fA^2 + U_0 A$。
   • 基于环量和自诱导速度推导出了涡对直径（$\xi$）的模型。实验数据中 $\xi/A$ 随 $St_A$ 变化的趋势与该模型吻合良好，表现为在低 $St_A$ 时下降，在高 $St_A$ 时趋于饱和。

4. 尾迹分类：

   • 观察到了四种尾迹类型：2S（马蹄形涡）、2P（涡环）、2S+2P 和 4P。尽管结构不同，但涡流速度和尾迹角的趋势保持一致，其中 2P 尾迹在参数空间中最普遍。

意义与主张
本文声称为理解 3D 波动式游泳中的推力产生、涡流动力学和尾迹结构之间的关系提供了全面的理解。通过将一个简单的几何模型与广泛的实验数据及文献进行验证，作者强调了主要由斯特劳哈尔数支配的通用行为。
该工作确立了：

• 阻力与推力之间的转变与涡流/射流反转密切相关，但两者是不同的，其差异由横向速度分量解释。
• 尾迹几何形状（角度和取向）可以仅通过斯特劳哈尔数和涡流速度进行预测。
• 这些发现为理解鱼类间的流体动力学相互作用（如集群行为和捕食者-猎物动态）提供了定量基础，通过表征游泳者发射的特定涡结构（角度和速度）。作者指出，对于在典型生物斯特劳哈尔数（0.2–0.4）下巡游的鱼类，预测的尾迹角在 $11^\circ$ 到 $17^\circ$ 之间。