Arbitrary state creation via controlled measurement

技术摘要：通过受控测量实现任意态创建

问题陈述
量子态制备是许多量子算法（包括用于线性系统的 HHL 算法、矩阵操作程序以及量子机器学习协议）的基础前提。然而，现有的量子态制备方法通常存在显著局限性：

• 受限的态族： 许多算法仅针对特定类别的态进行设计（例如，均匀叠加态、Dicke 态或源自特定解析函数的态）。
• 经典开销： 用于创建任意态的通用算法通常需要大量的经典计算，以在执行前确定旋转角度，这破坏了该子程序与量子算法的无缝集成。
• 成功概率： 标准的基于测量的方案在移除“垃圾”态（不在目标配置中的辅助比特）时，往往会导致成功概率较低，从而需要重复运行。
• 资源缩放： 某些高保真度的方法需要指数级的辅助比特，这使得它们在处理大规模系统时变得不切实际。

方法论
作者提出了一种量子算法，用于创建一个具有 $m$ 位二进制精度（针对每个概率振幅和相位）的任意 $n$ 比特纯量子叠加态。该算法在量子执行过程中无需补充性的经典计算；旋转角度仅通过目标态参数的二进制展开来确定。

其核心方法论包含三个子系统：

1. 系统 $S$： 一个存储目标态的 $n$ 比特寄存器。
2. 子系统 $R$： 一个用于振幅编码的 $m$ 比特辅助寄存器。
3. 子系统 $\phi$： 一个用于相位编码的 $m$ 比特辅助寄存器。

算法通过以下阶段进行：

1. 初始化： 系统从基态 $|0\rangle_S |0\rangle_R |0\rangle_\phi$ 开始。对 $S, R$ 和 $\phi$ 中的所有比特应用 Hadamard 门。此外，对 $\phi$ 子系统应用相位门 $R_{\phi k}$ 以创建特定的叠加态 $|\Psi_\phi\rangle$。
2. 振幅编码： 算法将整数振幅 $a_j$（源自目标振幅的二进制展开）编码进叠加态中。这是通过一系列涉及投影算子 $P^{(k)}_S$ 以及辅助比特 $A_1$ 和 $A_2$ 的受控操作实现的。算子 $W^{(1)}_{SRA}$ 根据二进制系数 $\alpha_{jk}$ 将 $S$ 的基态与 $R$ 的特定基态相关联，从而有效地将振幅信息映射到 $R$ 子系统中。
3. 相位编码： 第二个子程序使用投影算子 $P^{(j)}_{S\phi}$ 和作用在辅助比特 $A_1$ 上的受控操作来编码相位 $\phi_j$。算子 $W^{(2)}_{S\phi A_1}$ 根据二进制系数 $\beta_{jk}$ 应用必要的相位偏移。
4. 干涉与选择： 重新对 $R$ 和 $\phi$ 应用 Hadamard 门。随后，算法选择 $R$ 和 $\phi$ 返回到 $|0\rangle$ 状态的项，从而有效地过滤叠加态。未返回 $|0\rangle$ 的项构成了“垃圾”成分（$|g_4\rangle$）。
5. 受控测量（关键步骤）： 为了在不遭受低成功概率影响的情况下移除垃圾成分，作者引入了一个 2 比特辅助比特 $B$。一个受控算子 $W^{(4)}_{R\phi AB}$ 将“有用”的态（即 $R, \phi$ 为 $|0\rangle$ 时）标记为 $|1\rangle_{B_1}|1\rangle_{B_2}$，并将“垃圾”态标记为 $|0\rangle_{B_1}|0\rangle_{B_2}$。最后，执行一个以 $B$ 的第一个比特为条件的、作用在 $B$ 的第二个比特上的受控测量 $W^{(5)}_B$。这一步确定性地移除了垃圾成分，并得到了归一化的目标态。

主要贡献

• 通用性： 该算法可以生成任意 $n$ 比特纯态，其振幅和相位仅受限于所选的精度 $m$。
• 零经典开销： 与之前的通用方法不同，该算法在量子过程中不需要计算旋转角度的经典计算。参数直接通过二进制展开嵌入到投影算子中。
• 受控测量： 本文引入了一种受控测量技术，它在消除叠加态中“垃圾”部分的同时，避免了标准辅助比特投影测量中存在的成功概率较小的问题。
• 资源效率： 该算法使用 $O(n)$ 空间（具体为 $O(n+m)$ 个比特），避免了其他高保真度方法所需的指数级辅助比特需求。

结果与复杂度

• 空间复杂度： 算法需要 $O(n + m)$ 个比特。当 $n \gg m$ 时，其规模为 $O(n)$。
• 深度复杂度： 电路深度由振幅和相位编码算子主导。估计深度为 $O(2^n n m + m^2)$，当 $n \gg m$ 时简化为 $O(2^n n)$。
• 精度： 输出态以 $m$ 位二进制小数的精度逼近目标态，这同时适用于振幅和相位。归一化因子 $G$ 通过算法的结构被自动处理。

意义
作者强调，尽管该算法的深度较大（$O(2^n n)$），但它作为生成所需输入态的通用子程序，对于各种量子算法（特别是涉及矩阵操作的算法，如加法、乘法、求逆）具有重要意义。其主要意义在于能够创建任意态而无需补充性的经典计算，并利用受控测量来确保高成功率的垃圾移除。本文认为，对于涉及一系列矩阵操作序列的长计算代码，这种方法在初始态制备这一关键且往往独立的环节中是非常有效的。