Crossover in the Ordered Phase in the Non-Mermin-Wagner-Hohenberg Regime of Spin Models with Long-Range Coupling

技术摘要：长程耦合自旋模型中非 Mermin-Wagner-Hohenberg 机制下有序相内的交叉行为

问题陈述
具有衰减为 $r^{-\sigma}$ 的长程相互作用的经典自旋模型表现出显著不同于短程对应模型的复杂相行为。虽然 Mermin-Wagner-Hohenberg (MWH) 定理禁止了低维系统中具有短程相互作用的真正长程有序（LRO），但长程相互作用的存在允许在“非 MWH 机制”（$D < \sigma < 2D$，其中 $D$ 为空间维度）中出现真正的 LRO。以往的研究主要集中在有序相与无序相之间的转变或特定的 $\sigma$ 值上。然而，针对长程有序相内部进行全面的标度行为研究仍然缺乏。具体而言，目前尚不清楚在该机制下的磁化强度是单调收敛于一个有限值，还是表现出依赖于系统尺寸和相互作用范围的不同标度机制。

研究方法
作者采用单更新 Metropolis 算法进行的蒙特卡洛模拟，研究了一维（1D）和二维（2D）经典 XY 模型及海森堡（Heisenberg）模型，其具有长程耦合 $J/|i-j|^\sigma$。

• 模型： 模拟在具有周期性边界条件的 1D 链和 2D 方格点阵上进行。哈密顿量包含衰减为 $r^{-\sigma}$ 的相互作用。
• 模拟参数： 系统尺寸（$L$）在 1D 中最高达 $L=4000$，在 2D 中最高达 $L=120$。模拟包括 $10^5$ 次预热扫描以及随后的 $5 \times 10^6$ 次采样扫描。在低温度（$T < 0.1$）下，为了减轻亚稳态的影响，特别采取了限制提议自旋翻转的措施。
• 观测物理量： 研究分析了能量（$E$）、磁化强度（$M$）、磁化率（$\chi$）以及磁性累积量（Binder 比率，$U_n$）。至关重要的是，作者利用了累积量和磁化强度对逆温度（$\beta$）的一阶导数，从而比传统的交点法更精确地定位相变。
• 标度分析： 应用了有限尺寸标度（FSS）来提取临界指数（$\nu, \gamma$）和临界温度（$T_c$）。作者特别研究了磁化强度对 $\ln L$ 的依赖关系，以及自旋-自旋相关函数 $G(r)$ 的行为，以区分不同的有序机制。

核心贡献与结果

1. 识别不同的标度机制（EnLRO 与 ReLRO）：
   主要发现是，真正的长程有序相并非均匀的，而是由两个截然不同的标度机制组成：

   • 增强型长程有序（EnLRO）： 在此机制中，磁化强度 $M$ 随系统尺寸 $L$ 而增加。这发生在较小的 $\sigma$ 值（较强的长程相互作用）处。
   • 减弱型长程有序（ReLRO）： 在此机制中，磁化强度 $M$ 随系统尺寸 $L$ 而减小（尽管它仍保持有限值），这发生在较大的 $\sigma$ 值（较弱的长程相互作用）处。
   • 交叉（Crossover）： 这两种机制之间的交叉发生在一个临界 $\sigma_c$ 处。在 $\sigma_c$ 附近，$M$ 对 $L$ 表现出非单调行为（先减小后增大）。

2. 量化交叉点：

   • 1D XY 模型： 在低温度（$T=0.01$）下，交叉发生在 $\sigma_c \approx 1.575$。交叉温度随 $\sigma$ 增加。
   • 2D XY 模型： 在低温度下，交叉发生在 $\sigma_c \approx 3.2$。
   • 海森堡模型： 在 1D 和 2D 海森堡模型中观察到了类似的交叉现象，分别在 $\sigma_c \approx 1.575$ 和 $\sigma_c \approx 3.22$ 处。作者指出，这种相似性表明该现象是具有连续旋转对称性的长程相互作用连续自旋模型的普遍特征。

3. 相关函数的行为：

   • 在 ReLRO 机制中，自旋-自旋相关函数呈代数衰减（$G(r) \sim r^{-\kappa}$）并趋向于一个非零值。
   • 在 EnLRO 机制中，衰减过程更好地由指数函数描述（$G(r) \sim k_1 + k_2 e^{-r/\xi}$）并趋向于一个非零常数。相关长度 $\xi$ 在 $\sigma_c$ 附近表现出不连续的变化。

4. 相图与临界指数：
   在 $T-\sigma$ 平面上构建了 1D 和 2D 模型的全面相图。作者提取了用于描述有序-无序转变的临界指数 $\nu$ 和 $\gamma$。例如，在 $\sigma=1.1$ 的 1D 模型中，$\nu \approx 1.525$；而在 $\sigma=1.8$ 时，$\nu \approx 2.65$。临界温度 $T_c$ 在 $\sigma \to D$ 时发散。

5. 交叉机制：
   论文提出了一个基于自旋排列、自旋波激发与局部缺陷之间竞争的机制：

   • 低温度： 减小 $\sigma$ 会抑制自旋波的激发与传播，从而驱动系统从 ReLRO 向 EnLRO 转变。
   • 高温度： 局部缺陷（将链或点阵分割成子系统）会阻断自旋波的传播。随着系统尺寸的增加，缺陷的增殖速度超过了自旋波扰动的传播速度，从而有效地隔离了有序区域并增强了局部有序，导致了 EnLRO。

意义与主张
本文声称通过识别此前被忽视的有序相内不同标度行为，完善了对非 MWH 机制下经典自旋模型的理解。作者认为，EnLRO 与 ReLRO 之间的区别是连续自旋模型的普遍特征。

研究强调，虽然 EnLRO-ReLRO 的转变是一种标度行为的变化而非传统的热力学相变（即不存在潜热或对称性破缺），但它代表了系统对有限尺寸效应响应的重要转变。作者指出，虽然目前尚不清楚这种交叉是否构成一个具有尚未确定的序参量的真正相变，但表征这些标度差异为实验系统（如里德堡原子阵列）提供了重要的参考点，因为这些系统在运行过程中处于显著的有限尺寸机制之下。这项工作弥合了理论模型与当前长程相互作用系统实验实现中所观察到的有限尺寸约束之间的差距。