Non-Commutative weak measurements: Entanglement, Symmetry Breaking, and the Role of Readout

技术摘要：非对易弱测量：纠缠、对称性破缺与读取的作用

问题陈述
通过量子测量制备长程纠缠（LRE）态（如 GHZ 态）是一种极具前景的量子信息任务策略，与幺正演化相比，它能提供常数深度的电路制备。然而，现实中的实现受限于非理想的耦合与控制，导致产生弱测量（正算符值测量，即 POVM）。一个关键的开放性问题是，这些制备协议对于非对易测量噪声的稳定性如何。虽然先前的研究已经探讨了对易弱测量以及在随机投影测量背景下的测量诱导相变（MIPT），但相互非对易的弱测量（特别是最近邻 Ising $Z_i Z_j$ 与单比特横向 $X_i$ 算符）与环境退相干之间的相互作用仍不为人知。此外，现有文献通常侧重于无限时稳态，忽略了对于实际状态制备至关重要的有限时间动力学。

方法论
作者研究了一个在 $d$ 维量子比特晶格上存在竞争、非对易弱测量的极小模型。该系统在由两个速率驱动的随机主方程下演化：其中 $J$ 代表 $Z_i Z_j$ 测量，$h$ 代表 $X_i$ 测量。研究通过三种不同的读取协议场景对系统进行了分析：

1. 完全读取（Complete Readout）： $Z_i Z_j$ 和 $X_i$ 的结果都被记录。
2. 无读取（No Readout）： 所有结果都被丢弃，导致纯粹的退相干（Lindblad 演化）。
3. 部分读取（Partial Readout）： 仅记录 $Z_i Z_j$ 的结果，而将 $X_i$ 的结果进行平均处理。

为了处理检测纠缠和对称性破缺所需的非线性观测量，作者采用了复制方法（replica method）。他们引入了一种基于通道保真度（channel-fidelity-based）的新型配分函数，该函数源自 Choi-Jamiołkowski 同构。该配分函数 $Z = \text{tr}(e^{t_f \mathcal{L}})$ 能够同时表征：

• LRE 序： 由 Edwards-Anderson 型相关性捕捉（在密度矩阵上是非线性的）。
• 强到弱自发对称性破缺（SWSSB）： 由前向与后向演化分支之间的保真度相关性捕捉。

分析结合了：

• 数值模拟： 在 1D 链（$L=6$）上进行，使用等效于连续动力学的离散弱测量电路（针对小强度情况）。
• 平均场理论： 利用路径积分表示法针对高维情况（$d \geq 6$）进行推导，其中引入辅助场来解耦相互作用项。该方法能够同时捕捉有限时间动力学和稳态相位。

核心贡献

1. 统一框架： 本文引入了一个基于通道保真度的单一配分函数，该函数能同时生成 LRE 和 SWSSB 相的序参数。这揭示了两者在复制极限下深层的相互作用。
2. 复制极限解耦： 作者证明了在复制极限（$R \to 1$）下，LRE 和 SWSSB 相的有效作用量是解耦的。SWSSB 序参数在 $O(1)$ 阶出现，而 LRE 序参数（与短程纠缠 SRE 到 LRE 相的转变相关）在 $O(R-1)$ 阶出现。
3. 依赖于读取的相图结构： 本研究系统地推导了完整的有限时间及稳态相图，揭示了相结构从根本上取决于是否读取测量结果。

结果

• 完全读取：

  • 系统表现出从平凡 SRE 相到纯 LRE 相的直接转变。
  • 不存在 SWSSB 相；强 $Z_2 \times Z_2$ 对称性直接破缺为无对称性（$Z_2 \times Z_2 \to 0$）。
  • 存在一个临界测量强度 $h_c$ 将两相分隔开。在 $h_c$ 以下，系统在临界时间 $t_c$ 内演化进入 LRE 相。在 $h_c$ 以上，系统保持在平凡的 SRE 相。
  • 稳态的临界维度为 $d_c = 5$（当 $h \to 0$ 时为 $d_c = 6$）。

• 无读取（纯退相干）：

  • 纠缠被排除在外；系统不会进入 LRE 相。
  • 发生强到弱自发对称性破缺（SWSSB），临界时间为 $t_c = 1/(4dJ)$。
  • 系统从完全对称的混合态转变为经典有序的混合态，其中强对称性破缺为弱 $Z_2$ 对称性（$Z_2 \times Z_2 \to Z_2$）。
  • 至关重要的是，这一转变与非对易 $X$ 测量强度 $h$ 无关。

• 部分读取：

  • 该场景介于上述两者之间，具有丰富的相图，包含三个不同区域：平凡相、SWSSB 相和混合态 LRE 相。
  • 动力学： 对于弱非对易情况（$h < h_c$），系统首先经历 SWSSB（进入经典有序的混合态），随后经历混合态相变以达到混合态 LRE 相。
  • 陷阱效应（Trapping）： 对于强非对易情况（$h > h_c$），系统会被困在 SWSSB 相中，永远无法产生长程纠缠。
  • 对称性破缺模式： 破缺是序列性的：$Z_2 \times Z_2 \to Z_2 \to 0$。
  • 临界性： 向混合态 LRE 相的转变是一种混合态相变，不同于完全读取情况下的纯态转变。稳态的临界维度为 $d_c = 5$。

意义
本文为理解存在非对易噪声时的测量相变、SWSSB 以及混合态相变提供了一个凝聚的理论图景。它强调了“读取协议”是一个关键的控制旋钮，决定了系统是能实现长程纠缠，还是仅仅实现经典有序。这些发现为在存在不可避免的非对易误差的嘈杂中规模量子（NISQ）设备上设计鲁棒的状态制备协议提供了重要见解，特别是对于稳定器码（stabilizer codes）和 Floquet 码而言。这项工作弥合了有限时间动力学与稳态之间的鸿沟，解决了此前解析研究中很大程度上未被探索的领域。