Efficient Preparation of Quantum States via Randomized Truncation

技术摘要：通过随机截断高效准备量子态

问题陈述
通用量子态的准备是量子算法中的一个基本瓶颈，特别是在量子化学、微分方程和机器学习的应用中。现实的目标态通常表现出层次化的振幅结构：由主导构型组成的少量核心部分，以及由许多微小但不可忽略的分量组成的“重尾”部分。标准的确定性截断方法通过丢弃这些微小的振幅来降低电路复杂度。然而，这种方法在精度与资源成本之间存在严重的线性权衡：为了实现迹距离误差 $\epsilon$，必须保留足够的振幅，使得丢弃的 $\ell_2$ 权重为 $O(\epsilon)$。这一要求迫使编码大量的微小振幅分量，导致电路深度和门计数呈指数级增长。此外，这些微小分量通常需要高精度的门合成（需要大量的 T 门开销）和高控制旋转（增加 CNOT 计数），使得准备高保真度态的过程对于近期的及容错硬件而言都难以实现。

方法论
作者提出了一种随机态准备协议，通过利用概率放大机制，绕过了确定性截断的严格限制。该方法不是在单个深层电路中相干地编码整个重尾，而是构建了一个低复杂度电路的随机系综。

该协议的操作如下：

1. 划分： 将态振幅划分为一个显著集 $A$（振幅 $|\alpha_i| \geq t$）和一个微不足道尾部集 $B$（$|\alpha_i| < t$）。
2. 系综构建： 对于尾部集 $B$ 中的每个索引 $m$，定义一个特定的量子态 $|\tilde{\psi}_m\rangle$。该态保留集合 $A$ 中的所有振幅，并包含来自 $B$ 的单个元素（索引 $m$），且该元素的系数经过了放大。
3. 采样： 协议以概率 $p_m = |\alpha_m| / \sum_{j \in B} |\alpha_j|$ 从 $B$ 中抽取一个索引 $m$。随后准备对应的量子态 $|\tilde{\psi}_m\rangle$。
4. 结果态： 最终输出是一个混合态 $\rho_{\text{approx}} = \sum_m p_m |\tilde{\psi}_m\rangle\langle\tilde{\psi}_m|$。

至关重要的是，通过将微小系数 $\alpha_m$ 放大 $1/p_m$ 倍，确保了系综的期望值能够恢复原始目标态 $|\psi\rangle$。作者证明，虽然系综中的单个电路非常简单（仅保留一个尾部分量），但生成的混合态比确定性截断能更好地恢复目标态。

主要贡献与理论结果
主要的理论贡献在于证明了这种随机方法相对于丢弃的振幅质量，将误差缩放从线性提升到了二次方。

• 二次误差缩放： 作者证明（定理 1），如果丢弃的 $\ell_2$ 权重为 $\epsilon^2$，则随机系综的迹距离误差缩放为 $O(\epsilon^2)$，而确定性截断的缩放为 $O(\epsilon)$。
• 资源减少： 这种二次方的改进转化为在达到固定目标保真度时所需编码振幅数量的减少。
  • 对于指数衰减态（常见于量子化学和有能隙的哈密顿量），随机协议所需的振幅数量大约是确定性方法的一半（$K_{\text{det}} \approx 2K_{\text{rand}}$）。
  • 对于幂律衰减态（常见于多体物理和数据加载），资源节省随渐近比例为 $O(\hat{\epsilon}^{-1/(2r_{\text{pow}}-1)})$，随着所需精度提高，收益甚至更大。
• 门级节省： 通过放大微小系数，该协议将这些贡献从最高精度区间中提升出来。这减少了对极高精度多控制旋转的需求，从而显著降低了与解析微小角度相关的 T 门计数和 CNOT 开销。

数值结果
作者在多个现实和合成实例上验证了该协议：

• LiH 分子： 使用映射到 12 个量子比特的氢化锂（LiH）分子基态，在迹范数误差为 $5.86 \times 10^{-4}$ 时，随机协议相比确定性截断分别实现了 82.2% 的 CNOT 计数减少和 81.2% 的 T 门计数减少。
• 合成幂律态： 对于一个振幅按 $j^{-5}$ 衰减的 10 量子比特态，该方法在迹范数误差为 $1.04 \times 10^{-13}$ 时，展示了高达 98.9% 的 CNOT 计数减少和 98.5% 的 T 门计数减少。
• 机器学习与多体物理： 该协议还被用于测试源自训练 ResNet（10 量子比特）和横场伊辛模型（11 量子比特）基态的态。在两种情况下，随机方法在固定成本下始终比确定性截断实现了更低的迹范数误差，证实了其在严格幂律或指数分布之外的适用性。

意义与主张
本文声称建立了一种资源高效的范式，用于初始化复杂的量子态。通过放宽门合成精度要求并减少编码振幅的数量，该方法解决了端到端量子算法中的一个关键瓶颈。

作者强调，这种方法与近期及容错阶段均兼容：

• 对于近期设备，它用在简单、较浅电路上的采样取代了单个深层的、单体式的电路，使得态准备在相干时间限制内变得可行。
• 对于容错架构，它显著降低了与高精度旋转相关的 T 门开销和 CNOT 成本，从而扩大了可以在硬件上高效准备的量子态类别。

该工作总结道，这种随机截断策略提供了一种严谨且可控的误差界限，该界限与丢弃的尾部权重平方成正比，从而能够在不牺牲准确性的情况下，更高效地实现依赖复杂态准备的算法。