Symmetry-Adapted Eigensolver from Real-Space Sampling of Tensor-Network-Bridged Quantum Circuits

技术摘要：基于实空间采样的张量网络桥接量子电路对称自适应特征值求解器

问题陈述
在经典计算机上模拟强关联量子多体系统受限于希尔伯特空间的指数级增长。虽然矩阵乘积态（MPS）等张量网络方法提供了高效的压缩，但在处理更高维度或复杂系统时，准确捕捉纠缠需要迅速增加键维数（bond dimensions），从而导致难以承受的内存和计算成本。相反，将电路划分为并行子电路的量子计算方法，往往难以忠实地表示具有实质性纠缠的系统。本文旨在解决一种新颖策略的需求，该策略通过将波函数的配置采样与变分态本身的定义解耦，来高效地表示量子相关性。

方法论
作者提出了一种“对称自适应特征值求解器”，它利用一个由并行量子电路和 MPS 主干组成的复合拟设（ansatz），但将该复合对象严格视为一个样本生成器，而非变分波函数本身。

1. 复合生成器 ($\phi(a_{\text{real}})$)：

   • 将晶格划分为 $n_b$ 个大小为 $b$ 的块。
   • 局部纠缠： 在每个块内，量子电路 $C_i$（或源自约化密度矩阵特征向量的等距映射）捕捉局部纠缠。
   • 全局相关性： MPS 主干 $B_i$ 连接这些块，桥接重整化基底 $\gamma_i$，从而产生实空间振幅 $\phi(a_{\text{real}})$。
   • 采样： 利用条件约化密度矩阵进行完美（直接）采样，从概率分布 $p(a_{\text{real}}) = |\phi(a_{\text{real}})|^2$ 中直接抽取实空间配置 $a_{\text{real}}$，从而消除了对马尔可夫链的需求。

2. 对称自适应变分态 ($\psi(a_{\text{symm}})$)：

   • 实际的变分态是在由全晶格对称性（平移、反射、反演、粒子数）构建的对称自适应基底下定义的。
   • 模值规则： 对称振幅的模定义为整个等价类实空间配置上累积的总概率权重的平方根：
     $$|\psi(a_{\text{symm}})| = \sqrt{\sum_{a_{\text{real}} \in \{g a_{\text{repr}}\}} |\phi(a_{\text{real}})|^2}$$
   • 相位规则： 对称振幅的相位仅继承自该类中的单个代表性配置 $a_{\text{repr}}$：
     $$\arg \psi(a_{\text{symm}}) = \arg \phi(a_{\text{repr}})$$
   • 关键区别： 与传统的投影方法（其中对称配置的振幅进行相干叠加/干涉）不同，本方法在概率层面进行配置聚合。对称态并非生成器的群投影；相反，类级别的聚合提供了长程、对称强化的纠缠，这使得 MPS 主干无需承担此类纠缠。

3. 优化与梯度：

   • 能量期望值和梯度通过对 $a_{\text{real}}$ 进行采样并将其映射到 $a_{\text{symm}}$ 来评估。
   • 梯度计算将模值规则和相位规则融合为一个有效的振幅，使得导数可以作用于生成器 $\phi$，同时在对称基底下评估局部能量。

核心贡献

• 解耦采样与定义： 本研究引入了一个框架，其波函数从实空间生成器中采样，但在对称自适应基底下定义，确保生成的配置是目标对称分布的无偏样本，且无需重新加权。
• 基于概率的聚合： 通过在对称类中聚合概率而非振幅，该方法避免了相位干涉问题，并自然地将长程纠缠引入变分态，从而允许使用极小的 MPS 键维数。
• 等距初始化： 量子电路通过从可解小系统的占优约化密度矩阵（RDM）特征向量中构造的等距映射来实现。这绕过了对深度、高度参数化变分量子电路的需求。
• 直接采样： 该方法利用生成器的直接采样，避免了马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法相关的自相关时间问题。

结果
该方法在包括一维和二维在内的受挫 $J_1-J_2$ 反铁磁海森堡模型上进行了基准测试，并纳入了平移、反射、反演和粒子数对称性。

• 一维系统： 对于 64 位周期链，在对键维数 $D$（最高至 $D=6$）进行线性外推后，实现了每位点 $10^{-5}$ 的绝对能量误差。与标准方法相比，这所需的变分参数显著减少。
• 二维系统： 对于 $6 \times 6$ 的环面，在 $D \le 6$ 时获得了类似的精度（$10^{-5}$ 误差）。
• 纠缠： 研究表明对称自适应基底承载了长程纠缠。在 $D=1$ 时，对称态能够重现精确基态的双分纠缠熵，而直接作为实空间波函数的生成器在划分处仍表现为积态（product state）。

意义与主张
论文声称，该方法建立了一个连贯的框架，使实空间量子采样、对称约束测量和张量网络重构能够协同工作。

• 效率： 其主要意义在于能够以极小的键维数（$D \le 6$）达到 DMRG 级的精度（误差 $\sim 10^{-5}$），而传统的 DMRG 通常需要数千级别的 $D$。这归功于对称自适应基底承担了纠缠负担，使得 MPS 主干仅需表示剩余部分。
• 硬件兼容性： 该架构非常适合分布式量子硬件。各块之间通过经典方式连接（不需要量子链路连接处理器），且生成步骤可以直接在量子硬件上执行，其所需量子比特数与总系统规模 ($N$) 无关。
• 局限性： 作者指出，虽然生成步骤已具备硬件就绪性，但目前的能量估计器需要振幅查询（振幅之比），这在量子处理器上无法直接作为期望值测量。将估计器改写为适用于硬件实现的格式被确定为未来的必要工作。

这项工作并不声称解决了通用的符号问题或取代所有的张量网络方法，而是针对对称性占主导地位的强关联系统，提出了一种特定的、高效的策略，显著降低了高精度模拟的计算成本。