The dark dimension, proton decay, and the length of the M-theory interval

本文证明，质子衰变约束严重限制了$E_8\times E_8$杂化弦理论中M理论区间的尺度，排除了微米尺度暗维度的可能性，并将其长度限制在约$10^{-28}$米或更小。

要点

将我们的宇宙想象成一个巨大的、多层的蛋糕。长期以来，物理学家一直疑惑是否存在隐藏的“层”（额外维度），因为它们卷曲得如此紧密，以至于对我们而言是不可见的。

最近，一个名为“暗维度”的流行观点提出，可能存在一个额外层，其尺寸大得令人惊讶——大约相当于人类头发的粗细（一微米）。如果这是真的，它将解释物理学中的一些最大谜团，例如为什么引力与其他力相比如此微弱，以及宇宙为何正在膨胀。

然而，马里奥·雷格（Mario Reig）和伊格纳西奥·鲁伊斯（Ignacio Ruiz）的一篇新论文指出，这种特定尺寸的“头发粗细”的额外维度不可能以理论家们希望的方式存在，至少如果宇宙遵循一种名为M 理论的特定理论的规则，情况就是如此。

以下是他们论证的分解，使用了简单的类比：

1. 设定：“第十一维”

在这个版本的 M 理论中，我们的宇宙就像一个三明治。

• 面包：在隐藏空间的两端存在两面巨大的、不可见的墙（称为“膜”）。
• 馅料：这两面墙之间的空间就是“第十一维”。
• 规则：我们所知的所有物质（电子、质子、光）都生活在其中一面墙上。然而，引力是唯一能够穿过墙之间空间的东西。

“暗维度”观点提出，墙与墙之间的这个空间可以很宽（微米级）。本文的作者希望测试这种宽阔的空间是否真的可能。

2. 问题：“质子泄漏”

要理解为什么空间不能很宽，我们必须看看质子。

• 质子是每个原子内部微小且稳定的粒子。它是将物质粘合在一起的“砖块”。
• 在许多宇宙理论中，质子本应是永恒的。但在试图统一所有力的理论（大统一理论）中，质子有时可能会衰变（瓦解）成更轻的粒子。
• 关键点：隐藏空间（三明治的“馅料”）越宽，宇宙的“规则”就越容易崩溃，从而导致质子衰变得快得多。

将隐藏维度想象成一根漏水的管子。

• 如果管子很小，水（质子）就能安全地留在里面。
• 如果管子很大（微米级），水就会泄漏得如此之快，以至于管子几乎瞬间就会排空。

3. 证据：“超级神冈”探测器

科学家们已经在地下深处建造了巨大的探测器（如日本的超级神冈探测器），以监视质子是否发生衰变。

• 他们已经观察了几十年。
• 结果：他们没有看到任何一个质子衰变。这告诉我们，质子极其稳定，其寿命必须至少为 $10^{34}$ 年（一个带有 34 个零的数字）。

4. 裁决：维度必须极小

雷格和鲁伊斯进行了计算，以查看隐藏空间在多大程度上会导致质子开始过快衰变。

• 计算：他们发现，如果隐藏空间哪怕只有微米那么大（即“暗维度”的大小），我们原子中的质子早在数十亿年前就已经衰变了。我们就不会存在。
• 限制：为了保持质子的稳定性，隐藏空间必须极其微小。
  • 该论文计算出的最大尺寸约为 $10^{-28}$ 米。
  • 为了形象地理解：如果一个质子有地球那么大，那么这个隐藏维度甚至比单个原子还要小。就所有实际目的而言，它实际上为零。

5. 关于“扭曲”呢？

作者还检查了空间是否可以是“扭曲”的（在不同地方被拉伸或挤压，像漏斗一样）。他们发现，即使存在扭曲，为了防止质子衰变，该空间仍然必须是微观的。

结论

该论文的结论是，虽然“暗维度”的想法很有趣，但它被质子依然存在这一简单事实排除了。

如果我们未来发现了一个巨大的额外维度，那就意味着我们要对宇宙构建方式（特别是具有这些特定墙壁的 M 理论版本）的当前理解是错误的。我们需要一种完全不同的宇宙，其中质子不会泄漏，或者其中物质的“砖块”不像我们目前认为的那样被固定在墙壁上。

简而言之：宇宙是稳定的，因此墙壁之间的隐藏房间必须是一个壁橱，而不是一条走廊。

技术摘要

标题：暗维度、质子衰变与 M 理论区间的长度
作者：Mario Reig 和 Ignacio Ruiz
所属机构：欧洲核子研究中心（CERN）理论物理部

问题陈述

近期对“暗维度”情景的关注提出，存在一个巨大的、纯引力的额外维度（微米尺度，$r \sim 50\,\mu\text{m}$），其动机源于沼泽地猜想（Swampland conjectures）和观测到的宇宙学常数值。在 $E_8 \times E_8$ 杂弦理论（Hořava-Witten M 理论）的强耦合极限下，第十一个维度自然地容纳了这种设置，其中规范场和物质场局域在“世界末”膜（end-of-the-world branes）上。

然而，一个大额外维度意味着一个低量子引力（QG）能标，$\Lambda_{\text{QG}} \sim 10^{9-10}$ GeV。这与大统一理论（GUTs）产生了张力。如果标准模型（SM）被嵌入到 GUT 框架中（例如通过 $E_8$ 膜），GUT 规范玻色子的质量（$M_X$）受限于 QG 能标。低 QG 能标导致低 $M_X$，进而通过由这些规范玻色子介导的维数为 6 的算符预言了快速的质子衰变。当前的质子寿命实验限制（$\tau_p \gtrsim 2.4 \times 10^{34}$ 年）要求 GUT 能标 $M_{\text{GUT}} \gtrsim 2 \times 10^{16}$ GeV。本文研究了 Hořava-Witten M 理论区间是否足够大以充当暗维度，同时仍能与这些质子衰变限制保持一致。

方法论

作者在杂化 M 理论框架内，对第十一个维度的尺寸（$R$）、11 维普朗克质量（$M_{\text{Pl},11}$）与 GUT 能标之间的关系进行了定量分析。分析在三个不同的区域中进行：

1. 完整的 11 维理论（弯曲与平坦）：

   • 作者考虑了在扭曲积 $X \times S^1/\mathbb{Z}_2$ 上的通量紧化，其中 $X$ 是卡拉比 - 丘（CY）三维流形。
   • 他们推导了 4 维普朗克质量（$M_{\text{Pl},4}$）、11 维普朗克质量与区间物理长度 $R$ 之间的关系，考虑了由瞬子数 $Q$（与两个边界上的拓扑荷之差相关）引起的扭曲效应。
   • 他们施加了一致性条件，即 GUT 规范玻色子的卡鲁扎 - 克莱因（KK）质量标度必须受限于 11 维普朗克标度（$M_{\text{KK}} \lesssim M_{\text{Pl},11}$），且 GUT 能标必须满足 $M_{\text{GUT}} \lesssim M_{\text{KK}}$ 以避免过度的质子衰变。

2. 有效 5 维理论：

   • 作者在有效 5 维描述中利用畴壁解分析了该系统，该描述在能量低于 $M_{\text{Pl},11}$ 时有效。
   • 通过将 5 维爱因斯坦 - 希尔伯特作用量约化到 4 维并应用相同的质子衰变限制（$M_{\text{Pl},5} > M_{\text{GUT}}$），他们推导出了对区间尺寸 $R$ 的界限。

3. 体空间中的 M5 膜：

   • 作者将分析扩展到一个假设情景，其中 SM GUT 并非实现在边界 $E_8$ 膜上，而是实现在位于区间内任意点 $x_{\text{M5}}^{11}$ 的 $n$ 个 M5 膜堆上。
   • 他们考虑了修正的扭曲函数以及由 M5 膜世界体积理论（约化到 4 维的 6 维 $\mathcal{N}=(2,0)$ SCFT）产生的特定规范耦合结构。

主要贡献与结果

1. 平坦情形下的限制（$Q=0$）：
在没有扭曲（拓扑上相同的边界）的情况下，普朗克标度与区间长度之间的关系推导为 $M_{\text{Pl},4}^2 \propto M_{\text{Pl},11}^2 (R/\ell_{11})$。为了满足质子衰变界限（$M_{\text{GUT}} \gtrsim 2 \times 10^{16}$ GeV），11 维普朗克质量必须足够高。这迫使区间长度极其微小：
$$R \lesssim 1.4 \times 10^{-12} \, \text{GeV}^{-1} \approx 2.7 \times 10^{-28} \, \text{m}.$$
这一结果排除了在平坦极限下实现微米级暗维度的可能性。

2. 弯曲情形下的限制（$Q \neq 0$）：

• $Q < 0$（标准 Hořava-Witten）：CY 体积沿区间收缩。经典一致性要求体积不消失，这施加了一个比平坦情形更严格的 $R$ 上限：$R \lesssim 10^{-33}$ m。
• $Q > 0$（小边界上的 SM）：CY 体积沿区间增长。虽然这在经典上允许更大的 $R$，但质子衰变限制仍然施加了严重的上限。随着无量纲瞬子数 $\ell_{11}Q$ 的增加，界限单调减小。即使在 $\ell_{11}Q \to 0$ 的极限下，界限也恢复到平坦情形的结果（$R \lesssim 2.7 \times 10^{-28}$ m）。

3. 体空间中 M5 膜的限制：
当 SM 在体空间的 M5 膜上实现时，规范耦合取决于膜缠绕曲线的复结构，而不是 CY 体积。虽然这种设置将 $R$ 的界限比边界情形放宽了几个数量级，但 resulting 尺寸仍然太小，无法容纳暗维度（$R \ll 50\,\mu\text{m}$）。作者指出，将 M5 膜直接放置在 $E_8$ 边界上会导致小瞬子跃迁，使得体空间构型（$0 < x_{\text{M5}}^{11} < \pi$）成为所考虑的唯一稳定选项，但这仍然产生可忽略的 $R$。

意义与结论

本文在 $E_8 \times E_8$ 杂化 M 理论的背景下，确立了 M 理论区间尺寸的稳健且模型无关的上限：
$$R \lesssim \mathcal{O}(10^{-28}) \, \text{m}.$$

意义：

• 排除暗维度：该界限表明，标准 Hořava-Witten 构造中的第十一个维度不能作为解释宇宙学常数的“暗维度”（微米尺度）。
• 与标准 GUT 的不兼容性：结果加强了这一论点，即如果存在大额外维度，标准模型就不能通过标准 GUT 类理论实现，其中规范玻色子作为点状粒子存在直至 QG 能标。
• 替代情景：作者得出结论，如果在短距离上观测到牛顿反平方律的修正，SM 可行的弦/M 理论完备化必须是非统一膜模型，或者涉及作为孤子弦实现的 GUT 规范玻色子（如先前工作 [26] 所建议），或者涉及包裹全纯 4-环的 7 膜的 F 理论构造。

作者强调，无论可见部分位于大边界还是小边界，或者是否存在扭曲，这些结论都成立。未来质子衰变限制的改进（例如在 Hyper-Kamiokande 上）将以 $\mathcal{O}(1)$ 的因子加强这些界限。