Analysis and reformulation of the $k$--$ω$ turbulence model for buoyancy-driven thermal convection

本研究推导了瑞利 - 贝纳德对流中标准$k$-$\omega$模型的解析解，以识别浮力处理中的差异，进而提出一个包含两个新代数函数的重构模型，该模型显著提高了对各种浮力驱动流动中平均温度和湍流热通量的预测精度。

要点

想象一下，你正在预测放在炉子上的锅里的水如何传热。在物理学中，这被称为浮力驱动对流：热流体上升，冷流体下沉，它们以一种称为湍流的混乱舞蹈相互混合。

对于设计核反应堆或建筑通风系统等设备的工程师而言，他们需要一种方法来预测这种热传递，而无需模拟每一滴旋转的水滴（这需要超级计算机花费数年才能计算）。相反，他们使用一种称为RANS（雷诺平均纳维 - 斯托克斯方程）的“捷径”方法。将 RANS 想象成天气预报：它不追踪每一滴雨，而是预测风暴的整体模式。

对此最流行的“预测工具”是一个名为k–ω 模型的模型。然而，几十年来，这个工具一直存在盲点。它在处理吹过机翼的风（剪切流）时表现良好，但当涉及从热地板上升的热量（浮力）时，它往往算错数值。这就像是一个知道如何在高速公路上行驶，但在城市网格中完全迷路的 GPS。

问题所在：“盲”GPS

该论文指出，标准的 k–ω 模型不知道如何处理热量给予流体的“推力”。

• 旧方法：工程师试图通过猜测来解决这个问题。他们在模型中添加了一个“旋钮”（一个数学常数），根据空气是稳定还是不稳定来调大或调小。但没有规则手册。一个软件将旋钮设为 1，另一个设为 0，还有一个设为 -2。这是一团混乱的猜测，结果往往不准确，特别是对于非常粘稠（高普朗特数）或非常稀薄（低普朗特数）的流体。

解决方案：新地图

作者 Da-Sol Joo 决定停止猜测，开始推导。

1. 实验室：作者没有观察混乱的现实世界房间，而是在数学中创造了一个完美的、简化的“实验室”：一个从底部加热的平坦无限流体层（瑞利 - 贝纳德对流）。在这个完美的世界里，流体不会横向移动，只上下移动。这使得作者能够在纸上求解方程，以确切了解模型应该如何表现。
2. 发现：数学揭示，标准模型预测的热量、流体粘度和温度之间的关系是错误的。这就像是一个总是把重物称成轻物的秤。
3. 修正：作者没有抛弃整个模型。相反，他们在模型的“大脑”中添加了两个微小而智能的调整（代数函数）：
   • 调整 1（针对稀薄流体）：一种微调，改变了模型在处理稀薄流体时如何对待“耗散”（湍流衰减的速度）。
   • 调整 2（针对粘稠流体）：一种微调，改变了模型在处理粘稠流体时如何对待紧邻壁面的热量扩散。

至关重要的是，这些调整是智能的。它们仅在存在浮力（热量上升）时才会启动。如果没有热量，模型就会恢复其原始的、标准的形式。这就像给相机加了一个特殊镜头，只有当你拍摄日落时才会激活；对于普通照片，相机的工作方式与以往完全一样。

结果：更准确的预测

作者将这种新的“修正后”的模型与各种场景进行了测试，而不仅仅是简单的实验室设置：

• 加热房间：热量来自房间内部（如核反应堆堆芯）。
• 混合流：风在吹，同时热量在上升。
• 不同形状：高而窄的房间与宽而矮的房间。

结果：

• 旧模型在预测传热量时，经常偏离目标 50% 甚至更多。
• 新的、修正后的模型在所有这些不同情况下都精准地命中目标。
• 它成功预测了热量在非常粘稠（如油）和非常稀薄（如液态金属）的流体中如何移动，而这些正是旧模型惨败的领域。

大局观

该论文认为，我们不需要建造一个全新的、过于复杂的机器来解决这个问题。现有的"GPS"（k–ω 模型）只是缺少了一些关于热量的具体指令。通过从第一性原理推导出正确的指令，并将它们作为简单、智能的微调添加进去，作者创造了一种工具，它：

• 准确：它能正确预测传热。
• 简单：它不需要巨大的新计算能力。
• 稳健：当条件改变时，它不会崩溃或给出奇怪的答案。

简而言之，这篇论文拿起了一个坏掉的指南针，弄清了它为什么一直在原地打转，并添加了一个微小的磁铁使其重新指向北方，从而使工程师能够自信地在热驱动湍流的复杂世界中导航。

技术摘要

以下是 Da-Sol Joo 所著论文《浮力驱动热对流中 k–ω 湍流模型的分析与重构》的详细技术总结。

1. 问题陈述

浮力驱动湍流（例如自然对流、瑞利–贝纳德对流）在工程和地球物理流动中无处不在。虽然雷诺平均纳维–斯托克斯（RANS）模型，特别是双方程模型（如 $k$–$\varepsilon$ 和 $k$–$\omega$），因其成本效益而被广泛使用，但在纳入浮力效应方面，它们缺乏一个被普遍接受的标准公式。

• 核心问题：对于如何在尺度确定方程（$\varepsilon$ 或 $\omega$ 方程）中对浮力产生项进行建模，目前缺乏解析指导。
• 当前局限：现有方法主要是经验性的。有些方法完全省略浮力项，而另一些则类比剪切产生项将其加入。这些方法往往无法复现努塞尔数（$Nu$）随瑞利数（$Ra$）和普朗特数（$Pr$）变化的正确标度律，特别是在不稳定分层条件下。
• 具体缺陷：标准模型通常预测错误的渐近行为，例如在高 $Pr$下预测$Nu \sim Pr^{-0.415}$，而实验和直接数值模拟（DNS）数据表明，在该机制下 $Nu$应几乎与$Pr$无关（即$Nu \sim Pr^0$）。

2. 方法论

本研究采用严格的解析方法结合数值验证，推导并修正了标准的 Wilcox (2006) $k$–$\omega$ 模型。

A. 解析框架

• 典型测试案例：作者推导了标准 $k$–$\omega$ 模型应用于无限层中统计一维瑞利–贝纳德对流的精确解析解。
• 机制隔离：在此配置中，平均速度为零，湍流动能（$k$）完全由浮力产生。这隔离了 $\omega$ 方程中浮力项的作用，而在剪切驱动流动中很难实现这种隔离。
• 推导过程：该解明确建立了努塞尔数（$Nu$）与$Ra$和$Pr$ 之间的关系。它分析了近壁区和主体区域中浮力产生、耗散和扩散之间的平衡，以确定标度指数。

B. 重构与修正

基于识别出的解析差异，作者提出了涉及两个无量纲代数函数的重构方案：

1. 浮力系数（$C_{\omega b}$）的修正：

   • 将标准常数 $C_{\omega b}$ 替换为 $Pr$的函数，以修正低$Pr$ 标度。
   • 对于不稳定分层（$P_b > 0$），系数修改为：
     $$C_{\omega b}^+ = -0.9752 - 0.2988 Pr^{-5/16}$$
   • 对于稳定分层（$P_b < 0$），基于均匀稳定分层剪切流的解析推导得出一个新常数：
     $$C_{\omega b}^- = -0.5385$$
     （这取代了常用的经验值 $C_{\omega b} \approx -2$，确保模型在正确的通量理查森数阈值下稳定）。

2. 湍流热扩散率（$a_T$）的修正：

   • 为了修正高 $Pr$行为，向湍流热扩散率（$a_T = \nu_T / Pr_T + \psi$）引入了一个近壁修正函数$\psi$。
   • 该函数在没有浮力时消失，并增强近壁热通量，以恢复 $Pr \gg 1$ 时的 $Nu \sim Pr^0$ 标度。
   • 该函数取决于湍流雷诺数（$Re_T$）、$Pr$以及浮力产生与耗散的比值（$P_b/\varepsilon$）。

C. 验证

修正后的模型针对以下内容进行了验证：

• 解析解：将推导出的标度律与一维模拟进行比较。
• DNS 和实验数据：针对广泛的数据集进行验证，包括：
  • 瑞利–贝纳德对流（一维和二维方腔）。
  • 内部加热对流（顶部冷却以及顶部和底部同时冷却）。
  • 不稳定分层库埃特流（混合对流）。
  • 矩形腔体中的侧壁加热自然对流（变化长宽比）。

3. 主要贡献

1. $k$–$\omega$ 的解析解：本文提供了标准 $k$–$\omega$ 模型在浮力主导的统计一维瑞利–贝纳德流动中的首个显式解析解。这揭示了模型标度误差的数学起源。
2. 标度律的推导：分析明确推导了模型预测的标度律（低 $Pr$下$Nu \sim Ra^{1/3}Pr^{1/3}$，高$Pr$下$Nu \sim Ra^{1/3}Pr^{-0.415}$），并将其与物理观测趋势（$Nu \sim Pr^{1/8}$和$Nu \sim Pr^0$）进行对比。
3. 系统重构：本文没有采用临时的经验调整，而是推导了两个代数修正函数，这些函数：
   • 在整个范围内（$10^{-3} \le Pr \le 10^3$）恢复了正确的 $Nu$–$Pr$ 标度。
   • 确保与标准模型完全兼容（当没有浮力时，修正项消失）。
   • 为稳定分层提供了理论一致的值（$C_{\omega b} = -0.5385$）。
4. 跨机制的鲁棒性：修正不仅被证明在纯瑞利–贝纳德对流中有效，在混合对流（库埃特流）和内部加热流动中也同样有效。

4. 结果

• 标度精度：修正后的模型成功复现了实验趋势：
  • 对于 $Pr \ll 1$：$Nu \sim Pr^{1/8}$（此前预测为 $Pr^{1/3}$）。
  • 对于 $Pr \gg 1$：$Nu \sim Pr^0$（此前预测为 $Pr^{-0.415}$）。
• 定量改进：
  • 在瑞利–贝纳德对流中，与使用 $C_{\omega b}=1$ 的标准模型相比，修正后的模型将 $Nu$ 预测误差降低了 50–70%。
  • 在内部加热对流中，该模型准确预测了最高温度和热通量分配，而标准模型则显著高估了温度。
  • 在稳定分层中，解析推导出的 $C_{\omega b} = -0.5385$ 在湍流抑制方面与 DNS 数据的一致性优于标准值 $C_{\omega b} = -2$。
• 混合对流：在不稳定分层库埃特流中，该模型准确捕捉了剪切主导和浮力主导机制之间的过渡，预测的 $Nu$ 和摩擦雷诺数与 DNS 数据的偏差在 10% 以内。
• 侧壁加热腔体：在浮力作用较小的剪切主导侧壁加热流动中，修正后的模型产生的结果与标准模型几乎完全相同，证明修正不会降低非浮力主导流动中的性能。

5. 意义

• 理论清晰度：该研究通过展示标准闭合结构如何经过解析调整以匹配这些标度律，弥合了现象学标度理论（如 Grossmann–Lohse）与 RANS 建模之间的差距。
• 工程实用性：它为工程师提供了一种实用且低成本的解决方案。通过仅引入两个代数函数，该模型在无需高阶闭合（如雷诺应力模型）的计算成本或复杂性的情况下实现了高精度。
• 范式转变：本文反驳了标准双方程模型已达到“玻璃天花板”的观点。它表明，通过系统理解模型的内在行为，可以通过最小化且基于物理的修改实现显著的预测改进。
• 标准化：所提出的公式为 $k$–$\omega$ 代码（如 OpenFOAM、ANSYS Fluent）中的浮力建模提供了一个一致、可重复的框架，解决了当前不同求解器使用不一致经验系数造成的碎片化问题。

总之，这项工作提供了一种系统且基于解析基础的 $k$–$\omega$ 模型重构方案，解决了浮力驱动湍流预测中长期存在的差异，为各种热对流问题提供了一个强大的工具。