Development of Rheological Constitutive Modeling Method Using a Sparse Identification Algorithm: A Case Study for Extensional Flows

本研究通过展示 Rheo-SINDy 框架能够准确重构 Giesekus 模型，并借助人工设计的函数库从 FENE 哑铃数据中推导出具有预测性的近似本构模型，从而验证了该框架在拉伸流动中的适用性。

要点

想象一下，你正在教一个机器人如何预测一种黏稠、有弹性的流体（例如融化的奶酪或聚合物溶液）在被拉伸时的行为。这被称为“拉伸流动”。

通常，科学家必须亲手编写非常复杂的数学方程来描述这种行为。但在本文中，作者尝试了一种不同的方法：他们利用一种名为Rheo-SINDy的方法，让计算机直接从数据中“学习”规则。

以下是他们所做的工作及其发现，使用日常类比进行的简要分解：

1. 目标：教机器人“交通规则”

将流体想象成一辆汽车，将流动想象成道路。科学家们想要知道确切的物理定律（即本构模型），这些定律告诉汽车当道路被拉伸时该如何移动。

• 旧方法：专家基于理论编写规则手册。
• 新方法（本文）：计算机观察海量的驾驶数据，试图通过寻找最符合的简单模式，自己推导出规则手册。

2. 工具：一位“稀疏”侦探

他们使用的方法称为稀疏识别。想象你是一名试图侦破案件的侦探。你有一份包含 1,000 名可能嫌疑人（变量）的庞大名单。

• 大多数侦探可能会指控所有人。
• 这位“稀疏”侦探非常挑剔。他们知道通常只有两三个人真正参与了案件。他们使用一种特殊算法，忽略那 997 名无辜的嫌疑人，找出解释案件的那一小撮真正的罪魁祸首。
• 在这项研究中，“案件”是流体的运动，而“嫌疑人”是数学项（如应力、速度及其组合）。

3. 试驾：两种场景

为了验证他们的侦探方法是否有效，他们利用计算机生成的数据（模拟）进行了两项测试：

测试 A：“完美”谜题（Giesekus 模型）

• 设置：他们使用已知且完美的数学规则（Giesekus 模型）创建了数据。
• 挑战：计算机能否观察数据并重新发现生成该数据的确切规则手册？
• 结果：是的！ 计算机成功找到了确切的方程，证明了当答案已知时该方法有效。这就像给一名学生一道带有答案的数学题，然后看着他们完美地逆向推导出得出该答案的步骤。

测试 B：“神秘”谜题（FENE 哑铃模型）

• 设置：他们使用了一个更复杂的模型（FENE 哑铃模型），该模型描述了微小聚合物链如何被拉伸。这个模型如此复杂，以至于科学家无法为它写下一个简单、确切的规则手册。
• 挑战：计算机能否观察杂乱的数据并创建一个良好的近似值（即“作弊条”），使其表现得像真实情况？
• 结果：是的，大体上。 计算机没有发现“完美”的方程（因为不存在简单的形式），但它发现了一个简单、简短的方程，能够非常准确地预测流体的行为。
  • 它表现得太好了，以至于能够预测它在训练数据中从未见过的情况（例如，以比训练数据中快得多的速度拉伸流体）。这就像一名学生学会了“重力”的概念，然后能够正确预测球在月球上如何下落，尽管他们只在地面上练习过。

4. 为什么这很重要

作者发现，他们的“侦探”方法之所以强大，是因为：

1. 准确：当定律存在时，它能找到确切的定律。
2. 高效：它发现的方程简短且简单，便于计算机在现实世界的模拟中使用。
3. 稳健：它能处理复杂、杂乱的数据，并仍能找到可用的规则。

总结

本文是一个概念验证。它表明，你可以使用一种智能的、数据搜寻算法来发现拉伸流体在被拉伸时的行为数学定律，而无需人类先猜测公式。他们成功地在简单和复杂的“弹性”流体上测试了这种方法，表明该方法已准备好用于未来更困难的问题。

技术摘要

技术摘要：基于稀疏识别算法的流变本构建模方法开发：拉伸流动案例研究

问题陈述
从数值数据推导本构模型（CM）已成为流变学建模的一种系统化方法。尽管 Rheo-SINDy 框架（流变非线性动力学稀疏识别）此前已证明能从剪切流动数据中识别出近似的本构模型，但其在其他流动状态下的适用性尚未得到研究。拉伸流动是流变学中的一种基本模式，对于理解聚合物和表面活性剂溶液等复杂流体至关重要。然而，拉伸性能的实验测量极具挑战性，现有的唯象模型往往缺乏结构细节，而介观模型（如 FENE 哑铃模型）则缺乏解析本构模型。本研究旨在探讨 Rheo-SINDy 框架在拉伸流动中的适用性，具体测试其恢复已知模型的能力，以及为缺乏解析解的系统推导近似模型的能力。

方法论
本研究采用一种数据驱动策略，将 SINDy 算法扩展应用于流变学。其核心假设是：应力张量 $\tau$ 的时间演化可以通过上随体导数 $\overset{\triangledown}{\tau}$ 表示为库矩阵 $\Theta(\mathbf{T}, \mathbf{K})$ 中函数的稀疏线性组合，其中 $\mathbf{T}$ 和 $\mathbf{K}$ 分别代表应力和速度梯度的时间序列数据：
$$\overset{\triangledown}{\mathbf{T}} = \Theta(\mathbf{T}, \mathbf{K})\Xi$$
其中 $\Xi$ 是通过回归确定的稀疏系数矩阵。

本研究采用了两个主要测试案例：

1. Giesekus 模型（已知本构模型）： 为了验证该框架，通过在振荡单轴和双轴拉伸流动下数值积分 Giesekus 模型生成训练数据。库矩阵包含由应力和速度梯度分量构建的直至三次的多项式。
2. FENE 哑铃模型（未知本构模型）： 为了测试近似模型的推导，通过有限可伸长非线性弹性（FENE）哑铃模型的布朗动力学（BD）模拟生成训练数据。由于该模型缺乏解析本构模型，库矩阵的设计利用了源自解析可处理的 FENE-P（预平均）哑铃模型的流变学知识。

回归与优化
测试了两种稀疏回归算法：顺序阈值岭回归（STRidge）和自适应 Lasso（a-Lasso）。最优超参数 $\alpha$（控制稀疏性）的选择基于归一化总均方误差（MSE），定义如下：
$$\text{MSE} = w \cdot \text{MSE}_{\text{training}} + (1-w) \cdot \text{MSE}_{\text{solved}}$$
其中 $\text{MSE}_{\text{training}}$ 衡量对导数数据的拟合程度，$\text{MSE}_{\text{solved}}$ 衡量通过积分识别出的模型所获得的应力预测误差。使用权重因子 $w=0.5$ 以确保数值稳定性，并防止选择不物理的发散模型。

关键结果

• Giesekus 模型的恢复： Rheo-SINDy 框架成功从拉伸流动数据中识别出了 Giesekus 模型的精确表达式。STRidge 和 a-Lasso 均恢复了正确的项，尽管 a-Lasso 产生了更稀疏的解。识别出的方程与理论形式相符，证实了该框架处理拉伸运动学的能力。
• FENE 哑铃模型的近似建模： 对于 FENE 哑铃模型，该框架利用基于 FENE-P 理论设计的库，识别出了一个相对简单的近似本构模型（14 项）。
  • 识别出的模型捕捉到了基本动力学，包括迹项（$\text{tr}(\tau)\tau$）的作用，这对 FENE 行为至关重要。
  • 预测性能： 识别出的本构模型合理地预测了 FENE 哑铃模型的拉伸流变性能。它成功复现了振荡流动的 BD 模拟结果，并展示了向训练数据中更高应变率的稳态拉伸流动进行外推的能力（高达 $\dot{\epsilon}=30$）。
  • 精度： 虽然该模型在较低应变率下表现出中等的一致性（约 14% 偏差），在较高应变率下对主要应力分量表现出良好的一致性（约 1% 偏差），但次要应力分量表现出偏差。然而，该模型保持有界且物理上合理。
• 计算效率： 识别出的本构模型相比 BD 模拟具有显著的计算优势。BD 需要小时间步长和大量哑铃系综，而识别出的本构模型仅求解三个确定性微分方程。

意义与主张
本文主张，这些发现证明了在拉伸流动条件下使用 Rheo-SINDy 的“根本有效性”。本研究确立了：

1. 该框架能够从拉伸数据中准确恢复已知的唯象模型。
2. 通过将流变学知识纳入库设计，该框架可以为缺乏解析解的介观模型推导出有用的近似本构模型。
3. 生成的模型可以外推到训练集之外的流动历史和应变率，表明其在预测受拉伸流动控制的输运现象（如毛细变薄、熔体纺丝）方面的潜在效用。

作者保持了谦逊的语气，承认当前方法依赖于特定的训练数据集，并指出未来的工作需要对更复杂的模型进行方法优化、处理噪声以及解决多重弛豫模式问题。该研究将 Rheo-SINDy 定位为流变学建模的一个有前途的工具，但强调在使其成为复杂系统的标准工具之前，仍需进一步改进。