Asymmetry effects in homodyne and heterodyne measurements: Positive operator-valued measures and asymptotic security of Gaussian-continuous-variable quantum key distribution

技术摘要：同伦与异伦测量中的不对称效应

问题陈述
本文探讨了测量缺陷——特别是由于分束器不平衡和光电探测器量子效率失配引起的不对称性——对高斯调制连续变量量子密钥分发（CV-QKD）安全性分析的影响。尽管以往的研究已经承认了这些不对称性对于量子随机数生成器和安全性的重要性，但仍缺乏基于正算符值测量（POVM）的系统性理论分析。作者重点研究了“不可信噪声”场景，即假设对手（Eve）控制着测量缺陷，从而可能利用这些缺陷来破坏协议的安全性。

方法论
作者采用高斯近似来描述同伦检测和双同伦（异伦）检测的光子计数统计。该方法通过以下步骤进行：

1. 统计推导： 从精确的 Skellam 分布出发，作者推导出了在强局部振荡器（LO）极限下有效的高斯近似。该近似考虑了分束器不平衡（透射/反射系数 $C$ 和 $S$）以及探测器效率失配（$\eta_1, \eta_2$）。
2. POVM 构建： 利用所得高斯概率分布的 $Q$-符号（Husimi $Q$ 函数），作者构建了噪声 POVM 的算符表示。
   • 同伦检测： 噪声 POVM 通过对理想投影测量（向正交分量本征态投影）应用加性噪声量子信道来导出。
   • 双同伦检测： 作者证明，当存在不对称性时，理想的无噪声测量无法由相干态投影算符唯一表示。相反，无噪声极限必须用向挤压态（squeezed states）的投影来表示。因此，噪声 POVM 是通过对这些挤压态投影应用加性噪声信道获得的。
3. 安全性分析： 所得 POVM 被应用于高斯调制相干态（GMCS）CV-QKD 协议。该分析利用 Devetak-Winter 公式计算渐近密钥率（$K$）。在不可信噪声场景中，测量噪声信道被视为 Eve 可获取的。Holevo 信息（$\chi_{EB}$）的计算假设 Eve 持有由 Alice 和 Bob 共享状态的纯化态，且该状态经过特定的测量噪声信道修改。

主要贡献与结果

• 噪声测量的算符表示：

  • 对于同伦检测，作者确认噪声 POVM 可以表示为理想正交本征态投影与加性噪声信道的卷积。过剩噪声协方差矩阵由不对称参数唯一确定。
  • 对于双同伦检测，作者发现了一个新颖的发现，即算符表示的非唯一性。作者表明，理想的无噪声 POVM 必须使用挤压态投影 $|z, r, \phi\rangle$ 来表示。挤压参数 $r$ 并非由实验参数唯一确定，而是落在由“过剩噪声协方差矩阵必须为半正定”这一条件所决定的区间 $[r_2, r_1]$ 内。

• 对渐近安全性的影响：

  • 同伦检测： 不对称效应（分束器不平衡和效率失配）通常会降低互信息和密钥率。然而，作者指出，在特定的不对称效率场景下，引入适当的不平衡分束器可以最大化互信息并最小化 Holevo 信息，从而优化性能。
  • 双同伦检测： POVM 表示的非唯一性导致了与挤压相关的 Holevo 信息。由于 Eve 控制测量噪声，她可以在理论上选择允许区间内的挤压参数 $r$，以最大化她的信息量（最大化联合熵）。
  • 密钥率界限： 对于双同伦检测，渐近密钥率由对应于挤压参数极值的下限（$K_{LB}$）和上限（$K_{UB}$）所界定。该不确定性区域的大小随分束器不平衡比率的增加而增大。

• 性能退化：

  • 数值结果表明，不对称性和过剩噪声显著降低了两种检测方案的最大传输距离（reach）。
  • 在存在噪声的情况下，虽然双同伦方案在理想条件下优于同伦方案，但在长距离传输时，由于噪声积累以及 Holevo 信息在不对称情况下的特定行为，其性能可能会被同伦检测超越。

意义与主张
本文声称，双同伦 POVM 算符表示的固有非唯一性是源于测量缺陷的一种普遍特征。这一特征对于不可信噪声场景下的安全性分析至关重要，因为它意味着 Holevo 信息不是一个单一值，而是取决于挤压参数的选择。

作者得出结论，不对称效应为 CV-QKD 系统引入了漏洞。这些缺陷允许对手通过诸如波长相关攻击或探测器致盲等策略来降低系统性能，并在这些策略中，接收器的失配会放大攻击的有效性。该研究强调，准确的安全证明必须考虑到这些不对称引起的偏移和过剩噪声，特别是异伦检测中与挤压相关的歧义性，以便正确估计密钥率的下限。