Peridynamic modeling of the crack velocity dependence via an incubation time fracture criterion

本研究采用结合孕育时间断裂准则的键合动力学方法，对 Ravi-Chandar 和 Knauss 在 Homalite-100 材料上开展的实验进行建模，结果表明：在恒定裂纹速度下模式 I 应力强度因子的变化以及较高速度下微分支的萌生，为理解动态断裂中裂纹速度依赖性的本质提供了新见解。

要点

想象你正在观察一道裂纹在一块脆性塑料（比如一块 Homalite-100 板材）上飞速蔓延。在物理学的旧时代，科学家们认为，只要知道裂纹移动的速度，就能精确计算出推动它前进的“应力”（或压力）。这就像认为，如果一辆汽车以每小时 60 英里的速度行驶，其发动机必然恰好输出 100 马力。很简单，对吧？

但 20 世纪 80 年代的实验表明，事实并非如此。有时，裂纹以完全相同的速度移动，但推动它的压力却截然不同。这就像两辆车都以每小时 60 英里的速度行驶，但一辆装的是微型发动机，另一辆却装有火箭助推器。科学家们感到困惑：为什么相同的速度会有不同的“推力”？

本文是一则侦探故事，作者利用一种新型计算机模拟来解开这一谜团。

侦探工具：近场动力学

大多数裂纹的计算机模型就像一串多米诺骨牌。如果一块骨牌倒下，就会推倒下一块。但如果有一块骨牌缺失（即出现裂纹），链条就会断裂，数学计算也会随之卡住。

作者使用了一种称为近场动力学（Peridynamics）的方法。不妨将其想象成不是多米诺骨牌链，而是一群蜜蜂。每只蜜蜂都能与一定距离内的其他蜜蜂交流，即使中间存在空隙。如果一只蜜蜂飞走了（即形成裂纹），其他蜜蜂只需停止与它交流，而蜂群其余部分仍能完美地继续运动。这使得计算机能够在不陷入混乱的情况下处理断裂和开裂。

秘密要素：“孕育时间”

本文真正的突破在于他们如何决定裂纹究竟何时发生断裂。

在旧方法中，一旦压力达到足够高，材料就会瞬间断裂。但作者采用了一条称为孕育时间判据的规则。

想象你试图折断一根干枯的树枝。你并非一拉它就立刻折断。你会先拉，然后在那一瞬间保持拉力，让纤维拉伸并弱化，随后它才断裂。那一瞬间就是“孕育时间”。

作者将他们的计算机蜂群编程为记住过去几微秒内的压力。只有当该短“孕育”期内的平均压力足够高时，材料才会断裂。这考虑到了材料需要极短的时间来“决定”是否断裂的事实。

他们的发现

他们运行了塑料板被拉开的模拟，就像真实的实验一样。以下是他们的发现：

1. 速度与压力之谜：与真实实验一样，他们的计算机显示，对于相同的裂纹速度，压力（应力强度因子）并非单一数值，而是一个范围。有时较低，有时较高。
2. “微分支”效应：当裂纹移动缓慢时，它沿直线前进。但当速度加快（超过每秒 400 米）时，它开始变得不稳定。它开始萌发出微小的、微观的侧向裂纹，就像树枝分叉成小枝一样。
   • 类比：想象一名短跑运动员。在稳定慢跑时，他们沿直线奔跑。但当他们以最高速度冲刺时，为了保持平衡，他们会开始轻微摇晃和之字形移动。
   • 结果：这些微小的“摇晃”（微分支）导致压力读数剧烈上下波动。这解释了为何在给定速度下压力并非唯一值；裂纹在高速蔓延时，其形状实际上发生了微小变化。

结论

本文得出结论：我们之所以看到相同裂纹速度对应不同的压力值，是因为裂纹并非一条平滑、完美的直线。它是一个混沌的、有生命的东西，会不断波动。

• 在较低速度下：裂纹稳定，压力也相对稳定。
• 在较高速度下：裂纹开始“微分支”（萌生微小的侧向裂纹）。这种混乱导致压力上下波动，从而产生了实验中观察到的离散现象。

通过结合这种“蜜蜂群”（近场动力学）与“等待期”（孕育时间），作者成功重现了真实世界实验数十年来所揭示的裂纹速度与压力之间混乱且非唯一的关联。他们证明，数据中的“噪声”并非错误，而是高速裂纹行为的一种真实物理特征。

技术摘要

技术摘要：基于孵化时间断裂准则的裂纹速度依赖性周向动力学建模

问题陈述
本研究旨在解决动态断裂力学中的一个核心未决问题：瞬时 I 型应力强度因子（SIF，$K_I$）对裂纹扩展速度（$\dot{a}$）的依赖性。经典的线弹性断裂力学（LEFM）以及基于 Freund 和 Rosakis 的动态准则通常暗示 $K_I$ 与 $\dot{a}$ 之间存在唯一关系。然而，Ravi-Chandar 和 Knauss 关于脆性 Homalite-100 聚合物板的实验数据表明存在非唯一依赖性，即单一裂纹速度对应一系列 SIF 值。此外，在较高速度下，微分支现象的发生导致 SIF 测量值出现显著离散。挑战在于如何在数值上重现这种非唯一性及相关的波动，而无需依赖经验调整的速度相关材料属性。

方法论
作者采用非局部周向动力学框架来模拟 Homalite-100 中的动态裂纹扩展，复现了 Ravi-Chandar 和 Knauss 的实验条件。核心方法论创新在于将孵化时间断裂准则（ITFC）整合到周向动力学公式中。

• 周向动力学框架： 模拟使用在开源软件 Peridigm 中实现的普通状态基周向动力学模型。材料被离散为在球形视界（$\delta$）内相互作用的点，从而无需空间微分算子即可自然地处理裂纹等不连续性。
• 孵化时间断裂准则（ITFC）： 与假设瞬时失效的经典准则不同，ITFC 认为断裂需要有限时间（$\tau$）以完成预备过程（如微裂纹形成）。该准则评估孵化期 $\tau$ 和特征长度 $d$ 内的时间平均应力。
  • 特征长度 $d$ 源自准静态 Irwin 准则，以确保与临界静态 SIF（$K_{Ic}$）的一致性。
  • 周向动力学实现适应了远程应力（RS）断裂准则。键的失效是通过在孵化时间 $\tau$ 内积分法向键应力来确定的（公式 11）。
  • 为了管理计算复杂性并专注于微分支而非完全宏观分支，该准则仅在平行（$0^\circ$）和垂直（$90^\circ$）于主裂纹轴的平面上进行评估。
• 模拟设置： 模型模拟了一个带有 50 mm 预制缺口的 300 mm $\times$ 500 mm 试样。动态载荷通过上升时间为 25 $\mu$s 的梯形体积力脉冲施加。动态 SIF 使用移动矩形轮廓计算动态 J 积分，确保积分路径包围主裂纹尖端，同时排除正在发展的微分支。

关键结果
数值模拟成功复现了关于 $K_I$-$\dot{a}$ 关系的实验观察现象：

1. 非唯一的 $K_I$-$\dot{a}$ 依赖性： 结果证实，对于近乎恒定的裂纹扩展速度，瞬时 SIF 表现出显著波动。因此，该模型预测给定速度对应一系列 SIF 值，反映了实验中观察到的非唯一性。
2. 速度稳定与瞬态： 虽然实验显示裂纹速度几乎瞬间稳定，但模拟表现出初始加速阶段，持续约 30–40 $\mu$s 后才达到稳态。在此瞬态阶段，SIF 历史显示出显著变化。
3. 微分支与离散： 在较高加载速率下（导致速度 > 400 m/s），模拟表现出微分支的 onset。这一现象与 SIF 振荡幅度的显著增加相关。高速度下 SIF 值的数值离散（0.53–1.25 MPa$\sqrt{m}$）与实验范围（0.45–1.5 MPa$\sqrt{m}$）相当吻合。
4. 机制验证： 研究表明，观察到的 SIF 离散在物理上是由裂纹尖端的动力学（特别是加速阶段和微分支的 onset）所证明的，而非测量误差的产物。

意义与主张
本文主张，ITFC 的周向动力学实现提供了一种有价值的方法，用于评估动态断裂韧性并模拟广泛加载速率下的裂纹扩展。其主要意义在于该模型能够捕捉脆性断裂的速度敏感性以及 $K_I$-$\dot{a}$ 关系的非唯一性，而无需引入任意速度相关的材料参数。

作者谦逊地指出，虽然该模型在定性上捕捉了实验趋势，但定量差异仍然存在，特别是在速度稳定时间和 SIF 波动的精确幅度方面。他们将非唯一依赖性的成功预测归因于孵化时间的纳入（考虑了应力的时间历史）以及周向动力学的非局部性质（自然地处理了与动态断裂相关的奇异场和不连续性）。研究得出结论，裂纹加速阶段、SIF 波动与微分支 onset 之间的相互作用是实验观察到的 $K_I$-$\dot{a}$ 行为背后的主导机制。