Experimental prime factorization via the feedback quantum control

技术摘要：基于反馈量子控制的实验性素数分解

问题陈述
当前的量子素数分解在含噪声中型量子（NISQ）时代面临重大障碍。基于电路的方法（如 Shor 算法）需要高保真度的门和深层电路（具有 $O(l^3)$ 个门且要求极低的错误率），这限制了其仅能演示极小的数字。相反，哈密顿量优化方法（绝热、退火或变分法）将因子编码为问题哈密顿量 ($H_p$) 的简并基态。然而，这些方法往往存在演化缓慢、对初始状态要求严格以及需要昂贵的经典后处理来确定随时间变化的控制参数等问题。

方法论：FALQON
作者提出并实现了一种名为 FALQON（基于反馈的量子优化算法）的方法，这是一种基于测量、全量子的迭代方法。

• 核心机制： FALQON 利用了一种受李雅普诺夫（Lyapunov）启发的迭代方案。该算法不再预先计算控制场，而是在每次迭代时测量量子系统的瞬时状态，以确定下一步的驱动参数。
• 控制逻辑： 系统在总哈密顿量 $H_{total} = H_p + \beta(t)H_d$ 下演化，其中 $H_p$ 是问题哈密顿量，$H_d$ 是驱动哈密顿量。第 $j+1$ 次迭代的标量控制参数 $\beta_{j+1}$ 由测量第 $j$ 次迭代中对易算符 $C = i[H_p, H_d]$ 的期望值来确定。更新规则为 $\beta_{j+1} = c \langle C \rangle_{\rho_j}$，其中 $c$ 是缩放因子。这确保了能量 $\langle H_p \rangle$ 单调下降（或渐近收敛）至基态。
• 实验实现： 作者在利用 $^{19}$F 原子核的 1,1,2-三氟代-2-碘乙烯的三量子比特核磁共振（NMR）寄存器上实现了该算法。
  • 哈密顿量实现： 使用数字-模拟量子计算（DAQC）实现了双素数 551 的问题哈密顿量。为了减轻对脉冲缺陷的敏感性，作者采用梯度上升脉冲工程（GRAPE）来生成鲁棒的射频（RF）序列。
  • 测量效率： 该方法并非使用全态层析成像，而是利用“对角层析成像”来高效测量对易算符 $\langle C \rangle$ 和系统能量，仅需线性测量。
  • 初始状态： 不同于需要特定基态的绝热方法，FALQON 从 NMR 热态开始，无需复杂的伪纯态制备即可将其转换为横向磁化强度。

主要贡献

1. 实验演示： 本文报告了首次使用基于反馈的量子算法在 NMR 处理器上实现双素数的分解（551）。
2. 全量子控制： 该工作展示了一种方法，一旦 $H_p$ 实现后，无需经典计算驱动参数，实现了全量子化的动态控制。
3. 鲁棒性分析： 作者对算法在面对控制场误差、射频不均匀性和随机噪声时的韧性进行了详细分析，并将 FALQON 与绝热法和 QAOA 方法进行了对比，结果显示其表现更优。
4. 可扩展性预测： 通过数值模拟，作者通过使用 5 个和 9 个量子比特分别分解了更大的双素数（9,167 和 2,106,287），展示了该方法的可扩展性。

结果

• 551 的分解： 实验成功将 551 分解为其素数因子 19 和 29。经过 22 次迭代后，系统在对应于这些因子的基态上显示出明显的概率集中（经过位反转和填充后）。能量下降并趋于饱和，而解空间概率从约 0.2 上升至约 0.4。
• 鲁棒性：
  • 噪声： 在随机控制误差下，FALQON 表现出比绝热法更快的收敛速度，且比 QAOA 产生的振荡更小。
  • 脉冲缺陷： 研究证实，虽然 DAQC 实现 $H_p$ 对 $\pi$ 脉冲缺陷较为敏感，但经过 GRAPE 优化的实现对射频不均匀性和有限幅度具有高度鲁棒性。
  • 步长： 分析揭示了一种权衡关系：较小的步长（$c=0.25$）提供了对噪声的鲁棒性，而较大的步长（$c=0.75$）则增加了对噪声的敏感性，凸显了参数选择的重要性。
• 截断： 针对 9,167 和 2,106,287 的数值结果表明，“截断”后的问题哈密顿量（包含比完整展开项更少的项）仍保留了相同的简并基态，从而允许以降低的复杂度实现成功的分解。

意义与主张
本文将 FALQON 定位为一种可行的 NISQ 时代素数分解方案，它避免了 Shor 算法的门深度限制以及变分方法的经典开销。作者声称，由于该方法完全依赖于实验测量来引导系统，因此其动态控制是“全量子”的。他们强调，该方法对实验缺陷具有韧性，且不需要特定的初始状态准备，使其适用于当前的 NMR 及其他潜在架构。该工作总结道，尽管实验演示目前局限于较小的数字，但其数值可扩展性和鲁棒性表明，只要能够开发出高效的哈密顿量实现和系统性的截断方法，该方法为分解更大的整数提供了一条充满希望的路径。