技术摘要：不完美测量下的量子属性认证

问题陈述

量子系统的精确表征是量子技术进步的基本前提。该领域的一项关键任务是认证量子态的凸函数值，这些函数包括哈密顿量期望值、量子保真度、熵以及量子费舍尔信息量等重要物理量。

现有的估计方法通常依赖于量子态层析成像（quantum state tomography），随后将该函数应用于重建的量子态。然而，这些标准方法往往无法提供严格的认证，因为它们忽略了现实中的缺陷，特别是散粒噪声（由有限统计量引起）和测量误差（测量设备的系统性偏差）。忽略这些效应会导致巨大的不确定性，从而损害量子计算的鲁棒性，或导致对实验结果得出错误的结论。虽然近期的研究通过定义量子态的置信区域解决了散粒噪声问题，但这些研究通常假设测量设备是完美表征的，因此未能考虑到校准误差或测量过程中的缺陷。

方法论

作者提出了一种能够同时考虑散粒噪声和测量缺陷的认证方法。该框架将文献 [11] 中引入的置信区域方法扩展到了实验人员对测量控制不完美的场景中。

核心框架

该方法通过界定理想概率与实验估计概率之间的距离，来定义实验量子态 $\omega$ 的置信区域。这通过两个主要部分实现：

1. 统计误差（散粒噪声）： 使用 Bretagnolle–Huber–Carol 不等式 来界定经验估计值 $\hat{f}$ 与真实概率向量 $\vec{p}$ 之间的偏差。对于 $N$ 个状态副本和 $m$ 个测量结果，$l_1$ 距离以 $1-\delta$ 的概率被限制在 $\epsilon_1 = \sqrt{\frac{2}{N} \ln \frac{2m}{\delta}}$ 以内。

2. 系统误差（测量缺陷）： 使用操作距离 $d_{op}(E, F)$ 来量化目标正算符值测量（POVM）$\{E_k\}$ 与实际执行的 POVM $\{F_k\}$ 之间的差异。该距离被定义为在所有可能状态下，由两个 POVM 生成的概率分布之间的最大 $l_1$ 距离。作者通过 $\epsilon_2$ 来界定该距离，使得 $d_{op}(E, F) \leq \epsilon_2/2$。

认证协议

通过求解一个凸优化问题来获得凸函数 $F(\omega)$ 的认证界限。其目标是在满足以下约束条件的密度矩阵 $\rho$ 的集合中，寻找 $F(\rho)$ 的最小值（或最大值），这些约束以至少 $1-\delta$ 的概率成立：

• $\text{tr}(\rho) = 1$ 且 $\rho \geq 0$。
• $\sum_{k=1}^m |\text{tr}(E_k \rho) - \hat{f}_k| \leq \epsilon_1 + \epsilon_2$。

这里 $\hat{f}_k$ 代表通过测量不完美的 POVM $\{F_k\}$ 获得的实验频率。约束和 $\epsilon_1 + \epsilon_2$ 是通过三角不等式推导得出的，结合了统计误差和理想测量与实际测量之间的操作距离。

确定操作距离界限 ($\epsilon_2$)

论文根据对实验装置已知信息的不同，提供了几种用于估计 $\epsilon_2$ 的明确方案：

• 数值模拟： 如果噪声源得到了良好的表征，可以通过使用操作距离定义或其上界的数值模拟来估计 $\epsilon_2$。
• 张量积分解： 对于 POVM 分解为局部张量积的 $n$ 量子比特系统，全局操作距离可以通过局部操作距离之和来界定，从而简化计算。
• 量子测量层析成像： 可以通过从实验统计数据中重建实际的 POVM 来界定距离。
• 直接估计： 利用涉及 2-设计（2-designs）的关系或假设理想 POVM 为秩一投影算符，可以通过实验估计特定的类保真度量来界定 $\epsilon_2$。

该方法的一个关键特征是它不需要测量是信息完备的（IC）。这显著降低了实验开销，因为信息完备的 POVM 通常需要指数级数量的设置。

关键结果与应用

作者通过三个数值示例验证了该方法，展示了其在避免错误结论方面的必要性：

1. 最小制备保真度： 该方法被用于在各种噪声模型（振幅阻尼、相位阻尼、去极化和旋转偏移）下认证 100 个 Haar 随机双量子比特态的保真度。结果表明，该方法能提供非平凡的保真度下界，其界限的紧凑程度取决于噪声强度和采样数（shots）。

2. 自旋系统中的磁化强度： 在一项关于铁磁系统的研究中，作者表明，忽略测量缺陷（特别是测量基底的旋转）会导致得出系统未完全磁化的错误结论。而考虑了噪声的方法正确地识别出磁化强度为 1，而忽略系统误差的方法则表明磁化强度显著降低甚至为负，这取决于旋转角度和采样数。

3. 纠缠见证： 该协议在双量子比特纠缠见证上进行了测试。结果表明，忽略系统误差会导致对可分态进行错误的纠缠认证。相反，所提出的方法正确地将该态识别为可分态，同时仍能成功认证极大纠缠态的纠缠性。此外，作者指出，忽略缺陷的方法在噪声或散粒噪声较大时往往变得不可行（不存在解），而该方法在所有机制下均保持有效并能产生认证界限。

意义与主张

论文声称提供了一个通用且鲁棒的量子实验认证框架，该框架集成了统计误差和系统误差。其意义在于以下具体贡献：

• 置信区域的泛化： 它将现有的置信区域框架扩展到了测量控制不完美的场景，这在近期的量子实验中是非常普遍的情况。
• 针对错误结论的鲁棒性： 通过显式建模测量缺陷，该方法防止了因忽略系统误差而导致的错误结论（例如：错误的纠缠判定或错误的磁化强度值）。
• 实验效率： 该方法不需要信息完备的测量，允许实验人员根据特定的实验设置选择更简单的测量集。
• 计算易处理性： 对于凸函数或凹函数，所得的优化问题是凸的，可以使用内点法高效求解。
• 适用性： 虽然在保真度、磁化强度和纠缠方面进行了演示，但该框架适用于广泛的凸量，包括能量、熵和量子费舍尔信息量。

作者总结道，这种方法为在设备存在噪声且校准有限的现实环境下获得严格保证提供了一条切实可行的路径，这对于可靠地发展量子技术至关重要。