Probing Entanglement and Symmetries in Random States Using a Superconducting Quantum Processor

要点

想象你拥有一台由许多微小开关（量子比特）组成的巨大且复杂的机器。通常，为了了解这样一台机器是如何运作的，你必须研究其中的每一根电线和每一个齿轮。但这篇文章提出了另一种方法：与其关注具体的细节，不如看看当我们让这台机器以完全混沌、随机的方式运行时会发生什么。

研究人员使用了一台超导量子计算机（一种利用量子物理学的非常先进的计算机）来测试一个关于“随机”事物在量子世界中如何表现的著名理论。以下是他们所做的工作和发现，使用了简单的类比。

设置：摇晃一个装满弹珠的盒子

把量子计算机想象成一个包含特定数量弹珠（量子比特）的盒子。

1. 起点： 他们从一个非常简单、有序的状态开始：所有的弹珠都排成一排，全部朝向同一个方向（就像士兵站立受阅一样）。
2. “摇晃”： 他们应用了一个特殊的“Flooket 电路”。想象一下这就是一个摇晃盒子的配方。他们不仅仅是摇晃一次；他们遵循一个特定的、重复的摇晃模式（混合弹珠）并反复进行。
3. 目标： 他们想看看在经过足够的摇晃后，这些弹珠是否会变得如此彻底地混合，以至于看起来像是一个完全随机的混乱状态，与其他任何随机排列都无法区分。在物理学中，这被称为“Haar 随机态”。

第一项发现： “佩奇曲线”（纠缠之丘）

他们测量的主要内容之一是纠缠。在量子物理学中，纠缠就像是粒子之间的一种秘密握手。如果两个粒子是纠缠的，那么无论它们相隔多远，知道其中一个的状态就会立刻让你了解关于另一个的信息。

• 实验： 他们将他们的弹珠盒子分为两组：一小组（子系统 A）和盒子的其余部分（子系统 B）。他们测量了这小组与其余部分之间存在多少“秘密握手”（纠缠）。
• 结果： 随着小组规模的变大，纠缠量也随之增长。它一直增长，直到小组的大小正好是整个盒子的一半。在这一半大小的点上，纠缠达到了最大值。如果他们让小组变得更大（超过一半的标记），纠缠就会开始下降。
• 类比： 想象你在画一座山。纠缠在左侧上升，在顶峰（中间）达到最高点，然后在右侧下降。这种特定的形状在物理学中非常有名，被称为佩奇曲线（Page Curve）。研究人员发现，他们的实验数据与这个理论上的“山丘”完美契合。这证明了他们的“摇晃”过程创造了一个真正的随机态，就像数学预测的那样。

第二项发现：对称性破缺（破碎的镜子）

接下来，他们观察了对称性。想象一面镜子。如果你看它，左边和右边完美匹配。那就是对称。在他们的量子系统中，他们寻找的是一种与“向上”还是“向下”的弹珠数量相关的特定对称性。

• 实验： 他们问道：“如果我只看盒子的很小一部分，它看起来仍然是对称的吗？”
• 结果：
  • 如果这部分小于或等于整个盒子的二分之一，它看起来是对称的。“镜子”是完整的。
  • 如果这部分大于或等于整个盒子的二分之一，对称性就破缺了。镜子碎了。
• 惊喜： 在刚好到达一半的位置时，出现了一个剧烈的、突然的跳跃。系统从完美的对称瞬间变成了完全的不对称。这证实了一个预测：在真正的随机量子系统中，对称性的表现方式取决于你观察的部分有多大。

第三项发现：纠缠相图（混沌地图）

最后，他们观察了将系统分为三个部分时会发生什么：A 组、B 组和 C 组（C 代表“环境”或“外部世界”）。

• 实验： 他们将 C 组视为“噪声”或“背景”，并观察 A 组和 B 组是如何相互连接的。
• 结果： 他们发现了三种不同的连接“区域”或“相”，并像绘制天气图一样将它们绘制出来：
  1. 最大纠缠（ME）： A 和 B 紧密相连，C 干扰不大。
  2. 纠缠饱和（ES）： A、B 和 C 全部纠缠在一起，形成一个复杂的网络。
  3. 正部分转置（PPT）： A 和 B 实际上是脱节的，因为“噪声”（C）已经占据了主导。
• 类比： 想象一个舞池。
  • 在 ME 区域，两名舞者（A 和 B）紧紧牵手，忽略人群。
  • 在 ES 区域，所有人都在一个巨大的、混乱的圆圈中跳舞，很难分辨谁和谁在一起。
  • 在 PPT 区域，人群（C）如此庞大，以至于两名舞者（A 和 B）甚至看不见彼此了。
    研究人员成功地根据各组的大小绘制出了这些区域发生的精确位置，并且这与随机态的理论地图完全吻合。

大局观

研究人员展示了，尽管他们的量子计算机是一台具有现实世界缺陷（如噪声和误差）的物理机器，但他们可以使用一种聪明的“纠错”技巧来清理数据。一旦他们这样做，他们的结果就能与“完美随机”量子态的数学模型完美匹配。

简而言之： 他们证明了，通过仅仅用一个随机的配方去“摇晃”一个量子系统，他们可以创造出一个行为表现得就像自然界所能产生的最混沌、最随机的事物一样的状态。他们描绘出了这种混沌的样子（佩奇曲线）、它是如何打破对称性的，以及它是如何连接系统不同部分的，从而证实了即使在真实的、有噪声的硬件中，这些普遍规律也是存在的。

技术摘要

技术摘要：利用超导量子处理器探测随机态中的纠缠与对称性

问题陈述
量子多体系统表现出取决于基本物理特性（如对称性）而非微观细节的普适特征。从哈尔测度（Haar measure）中抽样的随机量子态为理解这种典型性提供了理论框架，其应用范围涵盖了黑洞蒸发建模、量子信息及复杂性理论等领域。然而，在实验中生成并验证真实的哈尔随机态具有指数级的难度。虽然 $k$-设计（能够重现哈尔随机态前 $k$ 个统计矩的有限系综）提供了一个实用的替代方案，但在实验中实现它们并表征其纠缠与对称性质仍然是一个重大挑战。具体而言，需要实验验证用于纠缠熵的“佩奇曲线”（Page curve）、通过纠缠不对称性探测子系统的对称性，并利用部分转置矩来绘制混合态的纠缠相图。

方法论
作者在一种由二维方格点阵排列的量子比特组成的超导量子处理器上实现了一种协议，用于生成近似状态 $k$-设计。

• 状态生成： 从简单的乘积态 $|0\rangle^{\otimes L}$ 开始，系统在 $\tau$ 个周期内经历遍历 Floquet 电路 $V$ 的演化。Floquet 算符定义为 $V = e^{-iH(y)T/3}e^{-iH(z)T/3}e^{-iH(x)T/3}$，其中组成哈密顿量 $H(x,y,z)$ 包括近邻相互作用和从均匀分布中抽取的无序局部场。该设置模拟了一个具有类维格纳-迪森（Wigner-Dyson）统计特性的周期性踢击自旋-1/2 系统。
• 测量协议： 作者采用了基于随机测量的经典影子（classical shadows）形式体系。在进行计算基底的投影测量之前，对每个量子比特施加从循环酉系综（CUE(2)）中抽取的随机单比特门。
• 数据处理：
  • 纠缠熵与不对称性： 利用基于还原密度矩阵的经典影子估计了 R'enyi-2 熵 ($S^{(2)}_A$) 和纠缠不对称性 ($\Delta S^{(2)}_A$)。
  • 纠缠相： 为了研究混合态的纠缠，系统被划分为三个子系统（A、B 和 C）。作者测量了部分转置还原密度矩阵 $\rho_{AB} = \text{Tr}_C[\rho]$ 的矩。他们利用比率 $\tilde{r}_2 = E[p_2]E[p_3]/E[p_4]$（其中 $p_n$ 是部分转置态的矩）来区分纠缠相。
  • 误差缓解： 为了应对 Floquet 演化过程中固有的退相干问题（这使得动力学过程变为开放过程），应用了全面的误差缓解协议。这包括将噪声建模为去极化通道，并从实验数据中估计误差率 $\epsilon$，以校正熵和不对称性测量。
  • 批次影子（Batch Shadows）： 对于计算成本较高的更高阶矩（$n \ge 3$），作者利用了“批次影子”技术以减少后处理时间。

主要贡献与结果

1. 近似 $k$-设计的生成： 研究表明，在浅层深度 Floquet 电路下演化简单的乘积态，可以产生在平均意义上高度逼近哈尔随机行为（前几个矩 $k=2, 3, 4$）的状态。保真度测量证实，在经过几个周期后，系统向理论哈尔随机值（$1/D$）收敛。
2. 佩奇曲线的实验观测： 作者测量了平均 R'enyi-2 纠缠熵作为子系统尺寸 $L_A$ 的函数。经过误差缓解后，结果与哈尔随机态的理论佩奇曲线完美匹配，表现出在达到半个系统尺寸前呈体积律增长，随后对称下降的特征。
3. 通过纠缠不对称性（EA）探测对称性： 研究通过测量 EA 来量化子系统内的对称性破缺。结果揭示了热力学极限下的剧烈转变：对于小于半个系统尺寸的子系统（$L_A < L/2$），EA 消失（对称性保持）；而对于 $L_A > L/2$，EA 呈对数增长（对称性破缺）。这证实了理论预测，即哈尔随机态在半系统尺寸处存在从对称到非对称行为的转变。
4. 绘制纠缠相图： 通过分析三体系统中部分转置矩的比率 $\tilde{r}_2$，作者实验性地绘制了纠缠相图。他们观察到了在极大纠缠（ME）、纠缠饱和（ES）和正部分转置（PPT）相之间的转变，这与哈尔随机系综的理论预测一致。
5. 非平衡态动力学： 该协议被用于追踪纠缠熵和 EA 的时间演化。数据表明，熵随时间增长并饱和到哈尔随机值，而 EA 则表现出取决于子系统尺寸的不同弛豫行为，即在衰减到稳态值之前会出现峰值。

意义
本文声称这些结果为研究多体量子系统的典型纠缠与对称性质提供了实验视角。通过在超导处理器上成功生成并表征近似 $k$-设计，这项工作证明了使用高效的、基于随机测量的协议来研究复杂多体量子动力学的可行性。作者认为，这种方法提供了一条探测通用量子多体遍历动力学特征的可扩展路径，使其超越了对特定微观模型的局限研究。此外，这项工作为未来在存在守恒律和全局对称性的情况下研究混沌动力学奠定了基础，并指出将该协议扩展到生成受对称性约束的随机系综是一个可行的下一步方向。