Resource-Efficient Digitized Adiabatic Quantum Factorization

技术摘要：资源高效型数字化绝热量子分解

问题陈述
本文探讨了在数字化（基于门）量子计算机上实现高效绝热量子分解所面临的挑战。标准方法（如 Peng 等人 [1] 提出的方法）将整数分解表述为源自多项式无约束二进制优化（PUBO）函数的哈密顿量基态搜索问题。这种表述生成的哈密顿量包含非局部的三体和四体相互作用项（$Z^3$ 和 $Z^4$）。在数字化设备上，这些高阶相互作用需要分解为多个原生的两体门（例如 CNOT），这导致电路深度增加且门计数极高。这种复杂性严重限制了算法的保真度和可扩展性，即使采用机器学习技术，当处理大于 91 的数字时，成功概率也会大幅下降。

方法论
作者提出了一种新型的数字化绝热算法，该算法利用二次无约束二进制优化（QUBO）框架对分解问题进行了重新表述。核心的方法论转变涉及两个关键变化：

1. 核子空间编码（Kernel Subspace Encoding）： 不同于将解编码为平方函数 $F^2$ 的基态（零能量最小值），作者将问题哈密顿量 $\hat{H}_{LP}$ 定义为线性函数 $F(N, \hat{p}', \hat{q}')$ 本身。在这种表述中，解对应于哈密顿量的零能本征态（即核子空间），相对于全局谱而言，这是一个激发态，而非基态。
2. QUBO 表述： 通过利用线性函数，生成的哈密顿量仅包含二体相互作用，将其归类为 QUBO 问题。这消除了将 PUBO 问题映射到 QUBO 时通常需要的复杂的 NP-难多项式约简和辅助变量。

该算法使用变分量子算法（具体为 QAOA）实现。该协议将系统初始化在均匀叠加态（具体为 $|+\rangle|-\rangle\dots$，以符合 $\hat{H}_{LP}$ 的零子空间），并使用由代价哈密顿量（$\hat{H}_{LP}$）和混合哈密顿量（$\hat{H}_M$）衍生的交替幺正算符进行演化。由经典优化器最小化的代价函数定义为哈密顿量绝对值的期望值，$C_{LP} = \langle |\hat{H}_{LP}| \rangle$，以确保收敛至零特征值解。

主要贡献

• 电路简化： 提出的 QUBO 方法将问题哈密顿量降低到二体相互作用。这消除了分解复杂多体门的需要，显著降低了电路深度。
• 新的编码策略： 本文证明了通过瞄准核子空间（零能量激发态）而非基态，可以成功执行绝热分解，从而绕过 PUBO 表述的局限性。
• 鲁棒性分析： 作者分析了哈密顿量的谱密度，表明与 PUBO 表述相比，QUBO 表述在解子空间附近具有更稀疏的状态密度，这有助于避免优化过程中的局部极小值和贫瘠高原（barren plateaus）。

结果
作者针对分解最高 8 位整数（具体为 $N=25, 119, 143$）的过程，将他们的 QUBO 算法与标准 PUBO 方法进行了基准测试。

• 门复杂度： 对于 QAOA 电路的单层，QUBO 方法所需的 CNOT 门显著减少。例如，分解 $N=25$ 时，QUBO 方法每层需要 8 个 CNOT 门，而 PUBO 方法（在分解 3 体和 4 体门后）需要 34 个 CNOT 门。
• 保真度与置信度： QUBO 算法在识别正确因子方面表现出显著更高的保达度。对于较大的数字如 $N=119$ 和 $N=143$，PUBO 方法无法将概率幅集中在正确解上，导致低置信度分数和高香农熵。相比之下，QUBO 方法能够成功填充正确的解态。
• 代价函数收敛性： QUBO 算法实现的代价函数降低程度比 PUBO 方法更深（对于 $N=143$，前者高达 3 个数量级，后者仅为 2 个数量级），表明其优化效果更有效。
• 谱分析： 对能量谱的分析表明，PUBO 哈密顿量在解附近具有高状态密度，形成了一个阻碍经典优化器的“平坦”景观。QUBO 哈密顿量则展现出更宽广的能谱，且在核子空间附近具有更大的能隙，有利于态制备。

意义与主张
本文声称，这项工作为数字化绝热量子分解提供了一条资源高效的路径。其主要意义在于大幅降低了电路复杂度并相应提高了算法保真度，使得在近期的量子设备上进行较大整数的分解成为可能。

作者强调，虽然瞄准激发态（核）对于缺乏基态退相干保护的量子退火机来说具有挑战性，但对于数字化量子退火机是有利的。在以退相干通常由局部单比特衰减驱动的门式系统中，QUBO 方法减少的门计数最小化了总运行时间并减少了误差暴露。结果表明，在基于 QAOA 的优化中，基于 QUBO 的表述可以优于基于 PUBO 的表述，挑战了先前认为在某些问题结构下 PUBO 是必要或更优的文献观点。这项工作也为在更广泛的数论问题和复杂哈密顿量中探索数字化绝热协议提供了动力。