Efficient implementation of arbitrary Hermitian-preserving and trace-preserving maps

技术摘要：高效实现任意保埃尔米特（Hermitian-Preserving）及保迹（Trace-Preserving）映射

问题陈述
量子控制已成功实现了任意完全正且保迹（CPTP）映射的实施，这类映射描述了物理上可实现的量子过程。然而，实现保埃尔米特且保迹（HPTP）映射仍是一个关键的前沿领域。与 CPTP 映射不同，HPPT 映射并不保证正定性，这意味着它们可以表示非物理过程，例如部分转置（用于纠缠检测）、逆噪声信道（量子误差缓解，即 QEM 的核心）以及非马尔可夫动力学中的非 CP 中间映射。现有的实现 HPTP 映射的方法面临显著局限性：

1. 分解方法： 将 HPTP 映射分解为两个 CPTP 映射并辅以后处理，需要通过半正定规划进行优化，且在实验上仅限于单量子比特系统。
2. 哈密顿量方法： 构建用于近似 HPTP 映射的双体哈密顿量需要一个与目标系统维度相同的辅助系统，这会导致极高的资源成本。

方法论
作者提出了一种全构造性的、资源高效的方法，通过单个可执行的 CPTP 映射结合简单的经典后处理来实现任意 HPTP 映射。该方法的核心步骤如下：

1. 归一化： 给定具有 Kraus 算符 $\{K_i\}$ 和符号 $\alpha(i) \in \{1, -1\}$（源自 Choi 矩阵的特征值）的目标 HPTP 映射 $\mathcal{N}$，作者通过因子 $\gamma$（该和的最大特征值）对求和 $\sum K_i^\dagger K_i$ 进行归一化。由此得到重标度算符 $\tilde{K}_i = K_i / \sqrt{\gamma}$。
2. 补全： 为了确保生成的映射是一个有效的 CPTP 映射，引入了一个额外的 Kraus 算符：$\tilde{K}_{r+1} = (I - \sum_{i=1}^r \tilde{K}_i^\dagger \tilde{K}_i)^{1/2}$。这保证了完备性条件 $\sum_{i=1}^{r+1} \tilde{K}_i^\dagger \tilde{K}_i = I$。生成的 CPTP 映射 $\mathcal{E}_\mathcal{N}$ 的 Kraus 秩最多为 $r+1$，其中 $r$ 是目标 HPTP 映射的固有秩。
3. 后处理： 物理电路实现 $\mathcal{E}_\mathcal{N}$。为了恢复在原始 HPTP 映射 $\mathcal{N}$ 下的可观测量的期望值，需要对测量结果进行经典后处理。具体而言，对应于前 $r$ 个 Kraus 分支的结果将乘以权重 $\alpha(i)\gamma$，而对应于第 $(r+1)$ 个分支的结果权重则为零。

电路实现
该方法利用了先前为 CPTP 映射开发的二进制树结构量子电路来实施构建的 CPTP 映射 $\mathcal{E}_\mathcal{N}$。

• 资源： 该协议仅需要一个两能级辅助量子比特（通过测量、复位和反馈进行复用）和一个用于存储测量结果的经典寄存器。
• 深度： 电路深度随 Kraus 秩呈对数级缩放，即 $\lceil \log_2(r+1) \rceil$。
• 连续映射： 对于一系列 HPTP 映射，作者建议连接相应的量子电路并在最后进行单次后处理，从而避免了在各步骤之间重新制备量子态的需求。

关键结果
论文通过数值模拟和理论分析验证了该方法：

• 量子误差缓解 (QEM)： 该方法被应用于反转单量子比特和双量子比特系统的噪声信道（振幅阻尼、去极化和去相位）。数值结果显示，与之前的分解方法相比，该方法显著降低了采样开销（方差）。
• 玻色系统： 在玻色光子损耗信道的模拟表明，所提方法随系统维度 $d$ 呈线性缩放（Kraus 秩 $\approx d+1$）。相比之下，之前的分解方法会导致接近满秩的 CPTP 映射（$d^2$），这使得在高维系统中难以实施。
• 方差分析： 作者推导出了估计器单次采样的方差解析表达式。他们证明了采样开销是透明且可解析保证的，这与依赖于分解映射系数来确定开销的数值优化方法形成了对比。
• Haar 平均方差： 针对 Haar 随机输入态和可观测量的理论预测证实了该方法的效率，特别是在对于幺正信道时。

意义与主张
作者声称，这项工作为实现由 HPTP 处理驱动的更广泛量子信息应用提供了一条切实路径。强调的关键优势包括：

• 资源效率： 与基于哈密顿量的方法相比，该方法所需的量子资源显著减少（特别是仅需单个两能级辅助量子比特），并且避免了以往方法对高维辅助系统的需求。
• 构造性： 该协议是全构造性且确定性的，消除了对数值半正定规划优化的需求。
• 可扩展性： 对数级的电路深度和随系统维度线性缩放的 Kraus 秩，使该方法适用于近期的硬件环境和高维设置。
• 通用性： 通过高效实现非物理映射，该框架支持纠缠检测、量子误差缓解、量子模拟和量子机器学习等应用。

论文总结指出，这些结果验证了所提框架的效率和通用性，为实现任意 HPTP 映射提供了一种无需面对先前技术中资源瓶颈的可扩展解决方案。