Leveraging unstructured grids for direct numerical simulations of wall turbulence

本文介绍了{\eta}-网格，这是一种用于壁湍流直接数值模拟的非结构化网格生成框架，其网格尺寸随局部柯尔莫哥洛夫尺度缩放，在显著降低计算成本（尤其是在高雷诺数及复杂肋条几何构型下）的同时，实现了与传统笛卡尔网格相当的精度。

要点

想象一下，试图模拟气流如何流过汽车，或水流如何掠过船体。为了在计算机上准确实现这一目标，科学家们使用一种称为**直接数值模拟（DNS）**的技术。可以将 DNS 想象成创建一个巨大的、三维的数字显微镜，它将流体（空气或水）分解成数百万个微小的、不可见的立方体（网格）。随后，计算机计算每一个立方体如何运动及其与相邻立方体的相互作用。

问题在于，靠近表面（如船体侧面）的流体流动极其混乱且细节丰富。为了获得清晰的图像，你需要在表面附近使用大量这些微小的立方体。然而，随着你远离表面，混乱程度逐渐平滑，你就不再需要如此微小的立方体了。

旧方法：“刚性砖墙”

传统上，科学家们使用笛卡尔网格。想象用完全相同、坚硬的砖块建造一堵墙。

• 问题所在： 为了看清表面附近的微小细节，你必须让底部的砖块非常小。但由于这些砖块是刚性的且呈直线连接，你被迫从底部一直使用同样微小的砖块直到墙的顶部，即使在上部细节并不重要。
• 结果： 你最终得到了一堵由数十亿个微小砖块组成的墙，其中大多数都是不必要的。这使得计算机模拟变得极其缓慢且昂贵，就像为了测量潮汐而试图数清海滩上每一粒沙子。

新方案：“智能、可伸缩的网”

本文介绍了一种名为$\eta$-网格（eta-grid）的新方法。与其使用刚性砖块，不如想象一张智能、可伸缩的渔网。

• 工作原理： 作者设计了一个系统，其中网孔的大小会根据所需的细节程度自动调整。
  • 靠近表面（“内层”）： 网孔非常小且紧密，以捕捉流体中微小、混乱的漩涡。
  • 远离表面（“外层”）： 随着流体变得平静，网会自动拉伸，使网孔变得大得多。
• 关键要素： 这些网孔的大小基于一种称为柯尔莫哥洛夫尺度（记为 $\eta$）的概念。可以将其理解为流体在任意给定高度所能存在的“最小可能漩涡”。新网格的原则是：“让网孔的大小刚好足以捕捉该特定高度处的最小漩涡，不要更大。”

为何这意义重大

作者在两种不同类型的计算机代码（一种是谱元法，另一种是有限体积法）上测试了这种“智能网”，并将其与旧的“刚性砖块”方法进行了比较。

1. 准确性： 结果几乎完全相同。“智能网”捕捉物理现象的能力与“刚性砖块”相当，在摩擦力和速度等关键测量值上的差异不到 1%。
2. 巨大的节省： 奇迹发生在这里。
   • 对于光滑表面（如平墙），新网格在高速度下将所需的“砖块”（网格点）数量减少了约90%。
   • 对于粗糙表面（如带有旨在减少阻力的微小凹槽“肋条”的墙壁），节省更为显著——网格点数量减少了高达97%。

“凹槽墙”的类比

为了理解肋条部分，想象一堵覆盖着微小平行凹槽的墙（就像高尔夫球表面或鲨鱼皮的纹理）。

• 旧方法： 为了模拟这种情况，刚性砖块方法必须让砖块在所有地方都保持微小，因为凹槽迫使网格一直向上保持精细。这就像试图数清毛衣上的每一根线，即使是在远离织物的部分。
• 新方法： “智能网”知道，一旦你高出那些微小凹槽几英寸，流动就会再次变得平滑。它立即在凹槽上方拉伸网孔，忽略那些不再重要的微小细节。

核心结论

作者创建了一个框架，它充当流体模拟的智能变焦镜头。它将计算能力精准地集中在需要的地方（靠近墙壁），并在不需要的地方放松。

• 对于光滑墙壁： 随着模拟规模变大，其所需的工作量增长要缓慢得多。
• 对于粗糙墙壁： 其扩展性甚至更好，使得在以前无法处理的计算机上模拟复杂的减阻表面成为可能。

简而言之，他们找到了一种方法，仅用一小部分计算能力就能完成同样高质量的工作，将原本可能需要超级计算机耗时一个月才能完成的任务，缩短至几天即可完成。

技术摘要

技术摘要：利用非结构化网格进行壁面湍流直接数值模拟

问题陈述
壁面湍流的直接数值模拟（DNS）计算成本高昂，主要原因在于需要在整个计算域内解析柯尔莫哥洛夫长度尺度（$\eta$）。传统的笛卡尔网格求解器（广泛用于光滑及非光滑表面，例如通过浸没边界法实现）通常在整个计算域内强制采用固定或缓慢变化的流向（$\Delta x^+$）和展向（$\Delta z^+$）网格分辨率。这种方法导致在外层区域（柯尔莫哥洛夫尺度随此处增大）出现显著的过度解析，从而形成计算瓶颈。对于涉及肋条（riblets）等复杂表面的模拟，这一问题尤为突出：在笛卡尔框架下，网格必须在近壁面处极度精细以解析微槽，但这种精细分辨率却在整个边界层厚度内被不必要地维持。

方法论
作者提出了一种名为$\eta$-网格的新型非结构化网格生成框架。其核心原则是将法向（$\Delta y^+$）和展向（$\Delta z^+$）网格尺寸设置为与当地柯尔莫哥洛夫尺度（$\eta^+$）成正比，从而允许在湍流尺度较大的外层流动区域进行网格粗化。

1. 网格构建：

   • 内层： 紧邻壁面的薄层（约 50 个粘性单位）采用与传统 DNS 相似的粘性标度网格尺寸（$0.3 \lesssim \Delta y^+ \lesssim 4$，$\Delta z^+ \simeq 5$）。对于非光滑表面（如肋条），网格需解析最小的表面波长（$\ell^+$），满足 $\ell^+/30 \lesssim \Delta y^+, \Delta z^+ \lesssim 4$。
   • 外层区域： 在内层之上，网格尺寸随当地柯尔莫哥洛夫尺度成比例增加（$\Delta y^+ \simeq \Delta z^+ \simeq 2\eta^+$）。
   • 标度律： 作者针对湍流通道流和零压梯度（ZPG）湍流边界层（TBL），优化了在对数区和尾流区中 $\eta^+$ 的半经验拟合公式。他们提出了分段幂律拟合公式，用于描述 $\eta^+$ 在 $y^+ \approx \delta^+/2$ 处的过渡。
   • 肋条适配： 针对肋条几何结构，该框架引入了一个“肋条亚层”（$\delta_r^+$），其中填充方形单元以解析二次流和开尔文 - 亥姆霍兹（Kelvin-Helmholtz）滚涡，并在此之上平滑过渡到基于 $\eta$ 的标度。

2. 实现：

   • 该框架利用开源软件包 Gmsh 生成多块非结构化网格。
   • 网格使用两种不同的求解器进行测试：SOD2D（谱元法）和 OpenFOAM（有限体积法）。
   • 模拟涵盖了光滑壁面及多种肋条几何结构（三角形槽）上的湍流通道流和 ZPG TBL，摩擦雷诺数最高达 $\delta_0^+ = 1000$。

主要贡献

• 框架开发： 一种稳健的多块非结构化网格生成策略，能够根据当地柯尔莫哥洛夫尺度动态调整网格间距，适用于光滑及复杂粗糙表面。
• 优化的标度律： 更新了 TBL 和通道流尾流区中柯尔莫哥洛夫尺度的半经验拟合公式，提高了外层网格尺寸确定的准确性。
• 求解器无关性： 证明了 $\eta$-网格框架在不同数值离散格式（SEM 和 FVM）下均能产生一致的高保真度结果。
• 针对肋条的专门构建： 一种专为肋条定制的网格策略，既能解析亚层物理现象（二次流、KH 滚涡），又能在外层流动中实现快速粗化，克服了笛卡尔/浸没边界法（IBM）方法的局限性。

结果

• 精度： 与传统的笛卡尔网格及参考 DNS/实验数据相比，$\eta$-网格产生的结果差异小于 1%。评估指标包括摩擦系数（$C_f$）、平均速度剖面（$U^+$）、湍流应力及频谱图。
• 网格效率：
  • 光滑壁面： 网格点数（$N_\eta$）的标度为 $\propto \delta_0^{+2.5}$，而采用双曲正切拉伸的笛卡尔网格标度为 $\propto \delta_0^{+3.0}$。在 $\delta_0^+ = 6000$ 时，$\eta$-网格所需的网格点数仅为标准笛卡尔网格的 $\sim 10\%$（$N_\eta/N_{Tanh} \simeq 0.1$）。
  • 肋条： 效率提升更为显著。对于减阻三角形肋条，$N_\eta$ 的标度为 $\propto \delta_0^{+2.0}$，而笛卡尔网格标度为 $\propto \delta_0^{+3.0}$。在 $\delta_0^+ = 6000$ 时，$\eta$-网格所需的网格点数仅为笛卡尔网格的 $\sim 3\%$（$N_\eta/N_{Tanh} \simeq 0.03$）。
• 肋条物理机制： 该框架成功捕捉了肋条上的复杂流动机制，包括虚拟原点、二次流和开尔文 - 亥姆霍兹滚涡，且在使用中等网格参数（$C_y=2.0, C_z=2.5, y_{in}^+=50$）的情况下实现了网格收敛。
• TBL 验证： 肋条上 ZPG TBL 的 DNS 模拟结果显示，尽管在尾流区存在固有的实验与 DNS 差异，但在减阻百分比和速度剖面方面与实验数据（Baron & Quadrio; Choi & Orchard）吻合良好。

意义
本文声称，$\eta$-网格框架提供了“巨大的网格节省”，使得在复杂表面上进行高雷诺数壁面湍流 DNS 在计算上变得可行。通过将网格分辨率与当地物理尺度（柯尔莫哥洛夫尺度）对齐，而非维持固定分辨率，该方法在不牺牲精度的情况下大幅降低了计算成本（网格点数和时间步长约束）。作者强调，这种方法使得在匹配实验条件的雷诺数下，对复杂表面上的 TBL 进行 DNS 成为经济可行的任务，而这一任务此前一直受制于基于笛卡尔网格方法的 prohibitive 成本。该工作验证了非结构化网格在高保真度湍流模拟中的有效性，超越了结构化笛卡尔网格的限制。