Interaction-controlled localization in one-dimensional chain: From edges to domain walls

采用哈特里-福克平均场方法，本研究表明在半满的苏 - 施里弗 - 海格链中，束缚态的局域化由扩展相互作用与在位 Hubbard 相互作用之比（$2V/U$）决定，该比值决定了是出现边缘自旋密度波模式还是链中电荷密度波畴壁，且与系统的能带拓扑无关。

要点

想象一条狭长的走廊，两侧排列着 100 对储物柜。在物理学中，这被称为 SSH 链模型，是一种研究电子如何在二维材料中运动的简化方式。通常，科学家研究这条走廊时，假设电子之间互不交流。在这种安静的场景中，如果走廊具有特定的“扭曲”模式，两个特殊的电子就会卡在走廊的最两端（边缘），就像客人分别守在前后门一样。

但在这篇论文中，作者提出了一个问题：当电子开始互相“争吵”时会发生什么？

他们引入了电子之间的两种“争吵”（相互作用）：

1. “个人空间”争吵（$U$）：电子讨厌共用同一个储物柜。如果两个电子试图挤进同一个位置，它们会猛烈地互相排斥。
2. “邻里积怨”争吵（$V$）：电子也不喜欢邻居拥有太多东西。如果你旁边的储物柜是满的，你就会感到恼火。

研究人员使用计算机模拟（一种“平均场”方法，相当于取每个人情绪的“平均值”）来观察这些争吵如何改变电子的聚集位置。他们发现了一条简单的规则，无论走廊原本是“扭曲”的（拓扑的）还是“笔直”的（平凡的），这条规则都决定了电子的行为。

黄金法则：争吵的比例

被困电子的位置完全取决于两种争吵的比例：“个人空间”的怨气（$U$）是否强于两倍的“邻里积怨”（$2V$）？

场景 A：“个人空间”获胜（$U > 2V$）

想象电子极度内向。它们更在意不与他人共用自己的储物柜，而不那么在意邻居的储物柜。

• 结果：电子仍然卡在走廊的两端（边缘）。
• 类比：想象一个在聚会上害羞的人，只有站在出口门边才感到舒适。由于它们如此专注于自己的空间，它们在门边形成了强烈的“自旋”（一种磁性个性），而房间中间则保持平静。
• 发现：即使走廊原本并没有被“扭曲”以产生边缘客人，强烈的“个人空间”争吵也会创造出这些边缘客人。它们本质上是被困在边界处的“自旋密度波”（SDW）。

场景 B：“邻里积怨”获胜（$U < 2V$）

现在想象电子对邻居非常敏感。它们不太介意共用储物柜，但非常介意旁边有一个满的储物柜。

• 结果：电子不再聚集在门边。相反，它们卡在走廊的正中间。
• 类比：想象一长排人试图交替拿着红球和蓝球。如果队伍是偶数，大家都很开心。但如果队伍是奇数（比如 100 个储物柜对应奇数对），就必须在中间打破这个模式。这会在中心产生一条“断层线”或畴壁。电子被困在这个断层线上，因为这是唯一能满足“邻里积怨”的地方。
• 发现：这些是“电荷密度波”（CDW）。电子形成了满柜和空柜交替的模式，而“被困”状态就是该模式中间的“故障点”。

“魔法”转折点

论文发现，在两种争吵恰好平衡的时刻（$2V \approx U$），有一个有趣的现象。

• 这是“边缘局域化”（停留在门边）达到绝对峰值的时刻。
• 这就像跷跷板。只要一边更重，系统就是稳定的。但在平衡点上，系统最为敏感，电子最有可能出现在边缘，直到“邻里积怨”稍微增强，它们就会突然跳到中间。

走廊的形状重要吗？

通常，在物理学中，走廊的形状（拓扑）决定了是否会有客人在门边。

• 巨大的惊喜：作者发现，形状并不重要。
• 无论走廊是“扭曲”的（拓扑的）、“笔直”的（平凡的）还是“完美平衡”的（临界的），电子都遵循相同的规则：
  • 强烈的“个人空间”（$U$）$\rightarrow$ 客人在边缘。
  • 强烈的“邻里积怨”（$V$）$\rightarrow$ 客人在中间。

总结

论文得出结论：在一维电子链中，相互作用（争吵）才是真正的老板，而不是材料的底层结构。

• 如果电子很自私（$U$占主导），它们会躲在边缘。
• 如果电子对邻居很敏感（$V$占主导），它们会躲在链的中间。
• 这种行为完全由电子彼此之间的关系驱动，创造出一种新的“被困”状态，独立于材料的原始设计而存在。

简而言之：决定你最终去向的，不是你住在哪里（拓扑），而是你和谁争吵（相互作用）。

技术摘要

技术摘要：一维链中相互作用控制的局域化

问题陈述
Su-Schrieffer-Heeger (SSH) 模型是研究一维二聚化晶格中拓扑现象的范式框架，其拓扑非平凡相中具体存在零能边缘模。虽然 SSH 模型的无相互作用极限已通过能带理论和对称性得到充分理解，但电子 - 电子相互作用在改变这些拓扑性质方面的作用仍较少被探索。具体而言，目前缺乏对 onsite ($U$) 和最近邻 ($V$) Hubbard 相互作用的综合效应对束缚态的存在、演化及空间局域化影响的系统性理解。先前的研究已分别或在特定背景下（如纠缠谱、玻色化）处理过这些相互作用，但亟需对相互作用比率如何决定实空间局域化——即在不同跳跃机制下区分边缘模与链中段畴壁——进行综合分析。

方法论
作者利用广义 Hartree-Fock 平均场方法，研究了二聚化 SSH 链上的半满扩展 Hubbard 模型。该系统由一个包含交替跳跃振幅 ($t_1$ 和 $t_2$)、onsite 排斥 ($U$) 以及最近邻密度 - 密度相互作用 ($V$) 的哈密顿量描述。

该研究采用自洽平均场程序来解耦相互作用项：

1. 解耦：通过将相互作用项近似分离为自旋依赖的有效格点能量 ($\epsilon_{i,\sigma}^{\text{eff}}$) 来进行近似。
2. 对角化：将哈密顿量分解为独立的自旋向上和自旋向下部分，并对角化以获得本征值和本征矢。
3. 迭代：从局部自旋和电荷密度的初始猜测开始，迭代该过程直至收敛，从而得到最终的能谱和本征态分布。
4. 机制：分析涵盖了三种不同的跳跃机制：拓扑相 ($t_1 < t_2$)、临界点 ($t_1 = t_2$) 和平凡相 ($t_1 > t_2$)。

关键结果
研究表明，局域态的空间特征主要由相互作用比率 $2V/U$ 决定，而非 SSH 链的底层能带拓扑。

• 边缘与链中段局域化：

  • $U > 2V$（自旋密度波主导）：在此机制下，系统倾向于自旋密度波 (SDW) 有序。局域态出现在链的边缘。这些边缘态表现出增强的自旋极化（SDW 序），并与电荷密度中的弗里德尔振荡相关联。这种行为在拓扑、临界和平凡跳跃机制中均被观察到。
  • $U < 2V$（电荷密度波主导）：在此机制下，最近邻相互作用倾向于电荷密度波 (CDW) 有序。局域态从边缘转移到链的中心，形成畴壁束缚态。这些态对应于 CDW 畴壁，其中电荷有序相位发生翻转（例如，从高 - 低 - 高翻转为低 - 高 - 低）。在此机制下，体区的自旋密度趋近于零，与 SDW 序的抑制一致。

• 拓扑态与相互作用驱动态：

  • 在具有弱相互作用的拓扑相中，存在标准的 SSH 边缘模。然而，随着 $U$ 增加（$V=0$），这些模最终会合并到体连续谱中，并在 $U \approx 1.7$ 附近消失。
  • 关键在于，$V$ 的引入可以恢复边缘局域化，即使在与纯 $U$ 会破坏该局域化的机制中，只要满足 $U > 2V$ 即可。
  • 在临界相和平凡相中，非相互作用边缘模不存在，局域态纯粹源于 $U$ 和 $V$ 的相互作用。对于 $U > 2V$，这些是相互作用驱动的边缘 SDW 模；对于 $U < 2V$，它们是相互作用驱动的链中段 CDW 畴壁。

• 自旋分裂边缘构型：

  • 在 $U < 2V$ 的拓扑相中，出现一种独特的自旋分裂构型，其中自旋向上和自旋向下部分分别局域在链的两端，导致两个边缘处的自旋密度相反。

• 临界比率：

  • 当 $2V \approx U$ 时，边缘概率急剧达到峰值，这与 SDW 和 CDW 主导之间的边界重合。随着系统偏离该比率进入 CDW 主导机制 ($2V > U$)，边缘局域化迅速衰减，让位于链中段畴壁。

意义与主张
本文确立了具有开边界条件的有限一维链中的局域态是扩展 Hubbard 模型固有的、由关联驱动的激发。作者主张，这些态的空间分布（边缘与畴壁）由相互作用比率 $2V/U$ 控制，并且在很大程度上独立于 SSH 能带拓扑。

这一发现挑战了边缘局域化仅是由体不变量保护的拓扑属性的观点。相反，结果表明，只要相互作用参数满足特定条件，强电子关联可以驱动局域化现象，使其在拓扑、临界和平凡相中持续存在。这项工作强调了相互作用在超越非相互作用拓扑图景驱动局域化方面的非平凡作用，提供了对 onsite 相互作用和扩展相互作用如何竞争以决定本征态实空间性质的系统性理解。