Mixing of miscible liquids: Dimensionless scaling for intermediate-to-large density differences in a stirred tank

本研究利用互溶液体搅拌槽的数值模拟表明，虽然混合时间与理查森数呈正相关，但基于功率数、弗劳德数和理查森数推导出的指数标度律能够成功将所有中间至大密度差的数据归并到一条单一的主曲线上。

要点

想象一下，你正在尝试混合一个巨大的容器中的两种不同液体：底部是沉重、浓稠的糖浆，顶部是较轻、稀薄的果汁。你投入一个巨大的旋转桨叶（叶轮）将它们搅拌在一起。

在现实世界中，这是从制药到废水处理等各种工厂中的常见任务。但这里有个关键问题：由于液体重量（密度）不同，重的液体倾向于留在底部，而轻的液体则想浮在顶部。这就在试图混合它们的旋转桨叶与试图将它们分离的重力之间，造成了一场“拉锯战”。

这篇论文就像一部侦探故事，科学家们利用强大的计算机模拟，精确计算出将这两种液体完全混合所需的时间，并研究如何在不每次建造实体储罐和进行昂贵测试的情况下预测这一时间。

设置：数字测试厨房

研究人员构建了一个标准工业混合储罐的虚拟版本。

• 储罐：它是一个带有墙壁和四个垂直挡板（baffles）的大圆柱体，用于防止液体像懒人河一样只是原地打转。
• 桨叶：位于中央的旋转叶片。
• 液体：他们模拟了重液体和轻液体各占 50% 的混合物。他们没有使用真实的化学品，而是将它们视为具有相同粘度（thickness）的“重”流体和“轻”流体。
• 方法：他们没有使用标准的数学方程，而是使用了一种巧妙的技巧，称为格子玻尔兹曼方法。你可以将其想象为不是将液体模拟为连续的团块，而是模拟为数十亿个微小的、看不见的台球在四处弹跳和碰撞。这使得他们能够精确观察湍流（混乱的漩涡）是如何表现的。

核心问题：我们能混合得有多快？

主要目标是找到一个“魔法公式”来预测混合时间。

• 变量：他们改变了两个主要因素：
  1. 桨叶的旋转速度（雷诺数）：旋转越快，通常意味着湍流越多，混合越快。
  2. 重量差异的程度（理查森数）：如果液体重量几乎相同，它们很容易混合。如果一种液体重得多，重力就会与混合过程对抗，形成难以打破的分层。

发现：“重力与旋转”的较量

研究人员发现了一些有趣的规律：

1. 当重力不起作用时（重量相同）：
   如果两种液体的重量完全相同，混合时间出奇地一致。无论桨叶转得多快（在一定范围内），“无量纲混合时间”（一种 fancy 的说法，指“需要桨叶转多少圈”）都保持在约20 圈的恒定值。这就像一条自然法则：一旦液体充分翻滚，再加快旋转速度，从桨叶圈数的角度来看，并不会让混合变得更快。

2. 当重力反击时（重量不同）：
   一旦液体重量不同，重的液体就想留在底部。重量差异越大，混合就越困难。

   • 趋势：重量差异越大，混合所需时间越长。
   • 惊人的转折：如果你保持“重量差异”不变，只是加快桨叶旋转，混合时间并不总是减少。有时，转得越快，达到特定混合程度所需的时间反而更长。
   • 为什么？ 想象重液体像一条厚毯子。如果你把桨叶转得太快，会产生大量能量，但重液体会形成一个稳定的“盖子”，轻液体无法穿透。能量被浪费在搅动顶层，而底层却被封锁。这就像试图搅拌一锅汤，其中重的蔬菜已经在底部沉淀成一块固体；把勺子转得更快只会溅起上面的汤汁，而无法打破底部的蔬菜块。

解决方案：新的“主曲线”

该团队最大的成就是创造了一个单一的简单公式，将所有这些因素结合起来。他们发现，如果通过三个特定数值（功率、弗劳德数和理查森数）的视角来观察混合时间，所有杂乱的数据点都会坍缩到一条平滑的指数曲线上。

可以这样理解：以前，工程师必须猜测或运行数百次测试，才能看出新液体将如何混合。现在，他们有了“食谱”。如果你告诉他们重量差异以及计划旋转的速度，这个公式就能以高精度预测混合时间。

核心结论

该论文总结道，对于这些特定的工业储罐：

• 湍流是关键：一旦液体充分翻滚，混合行为就是可预测的。
• 重力是主宰：如果液体密度不同，重力会产生抵抗混合的“分层”（stratification）。
• 更快并不总是更好：在密度差异巨大的系统中，仅仅提高电机转速并不能保证混合更快；有时它只会造成更稳定的分离。

作者提供这个新公式，旨在帮助工程师设计更好的混合工艺，而无需首先建造昂贵的原型。他们计划未来在不同的储罐形状和桨叶类型上测试该公式，但目前，它对他们模拟的标准储罐来说效果完美。

技术摘要

技术摘要：搅拌罐中中等至大密度差异的无量纲标度

问题陈述
可混溶液体的混合是工业过程中关键的单元操作，范围涵盖从制药生产到废水处理。虽然单相均质系统中的湍流混合已得到充分表征，但流体间密度差异的存在会引入浮力驱动的 stratification（分层）。这种现象会形成垂直分层区域，其中重力作用抵消了对流输运，可能抑制垂直混合并延长达到均匀性所需的时间。尽管存在针对单相示踪剂混合和特定分层情况的经验关联式，但一个能够一致地涵盖不同流动形态和几何结构下重力、惯性、粘性及浮力效应的通用框架仍然难以获得。本研究旨在解决预测含两种具有中等至大密度差异的可混溶液体的挡板搅拌罐中混合时间的问题。

方法论
作者采用基于格子玻尔兹曼方法（LBM）的计算流体动力学（CFD）来模拟挡板搅拌罐中的湍流混合。该系统由体积比为 50/50 的两种可混溶液体组成，两者具有相同的动力粘度但密度不同（$\rho_l$ 和 $\rho_h$），其中较轻的流体初始时分层位于较重流体之上。

• 数值方法：模拟使用 D3Q19 格子格式求解不可压缩 Navier-Stokes 方程。为了处理高雷诺数（$Re > 10^5$），实施了 Smagorinsky-Lilly 大涡模拟（S-L LES）模型来模拟亚网格湍流。
• 标量输运：采用基于质量通量的标量输运模型来追踪较轻液体的浓度。该模型通过浓度依赖的重力体积力将标量场与动量方程耦合，从而模拟由局部密度变化引起的浮力效应。
• 模拟空间：通过改变叶轮转速（$N$）和轻相密度（$\rho_l$）进行了系统的参数研究。这产生了广泛的无量纲数范围：雷诺数（$Re$）从 50,000 到 125,000，理查森数（$Ri$）从 0 到 14。
• 验证：通过网格收敛指数（GCI）分析验证了数值精度，该分析估计生产网格上的数值不确定性约为 2.39%。此外，模拟结果与文献中的实验示踪剂数据进行了验证，在探头响应和混合时间定义上显示出良好的一致性。

关键结果
本研究量化了混合时间（$t_m$），定义为达到 90% 均匀性所需的时间，并将其表示为无量纲形式（$t^*_m = N \cdot t_m$）。

1. *均匀基线（$Ri = 0$）**：在不存在密度差异的情况下，无量纲混合时间在整个研究的雷诺数范围内坍缩为一个常数值$t^_m \approx 20$。这证实了流动处于完全湍流状态且惯性混合占主导地位，与挡板罐的既定文献一致。
2. 分层效应（$Ri > 0$）：随着理查森数的增加（表明密度差异增大），无量纲混合时间系统地增加。数据在所有雷诺数下均遵循清晰的指数趋势。
3. 提出的标度律：作者推导出一条主曲线，将所有模拟数据坍缩到单一的指数标度关系上：
   $$t^*_m = 20 \cdot e^{0.58 \cdot N_p \cdot Fr \cdot Ri}$$
   其中 $N_p$ 为功率准数，$Fr$为弗劳德数，$Ri$ 为理查森数。前置因子 20 代表惯性基线，而指数项则捕捉了浮力的稳定效应。
4. 非单调行为：在恒定 $Ri$下分析量纲混合时间（$t_m$）时，研究观察到对于较高的理查森数（$Ri \geq 8$），其对$Re$的依赖呈现非单调性。虽然增加$Re$（从而增加叶轮转速）最初通过增强湍流来减少混合时间，但进一步的增加会导致更强的密度分层（这是由于模拟设置中参数的耦合），从而抑制垂直输运。这种相互作用导致在中间雷诺数处出现最小混合时间。
5. 流动结构：速度场分析表明，在高 $Ri$ 下，轻相可能会被“隔离”在叶轮功率输入之外，垂直结构主要出现在密度较大的液体中。功率谱密度（PSD）分析表明，虽然浮力影响流动的空间组织，但叶轮驱动的动力学仍然主导能量级联。

意义与主张
本文声称提供了一种紧凑的预测关联式，用于完全湍流区域内初始密度分层系统中的湍流混合时间。基于功率准数、弗劳德数和理查森数综合影响推导出的标度律，为工程师和应用专家提供了一种简单的解析表达式。

作者指出，据其所知，此前尚未报道过完全湍流区域内分层系统的可比关联式。这项工作的意义在于能够通过减少对昂贵实地测试的依赖来简化混合工艺设计。所提出的模型允许估算浮力效应显著的系统中的混合时间，捕捉增强湍流与强化分层之间复杂的竞争关系。作者谦逊地建议，未来的工作将涉及在不同罐体几何形状和叶轮类型（包括倾斜搅拌器）上测试该关联式，以评估所提标度的稳健性。