技术摘要：随机生成动力学的确定性分解

问题陈述

现代生成建模日益通过概率输运的视角来审视，其中样本从简单的基分布 $\pi_0$ 演化至目标数据分布 $\pi_1$。确定性模型（例如归一化流、流匹配）与随机模型（例如扩散模型）之间存在根本区别：前者通过由速度场控制的常微分方程（ODE）演化样本，后者则通过涉及漂移和扩散的随机微分方程（SDE）演化样本。

尽管确定性模型提供了可处理的速度场，但随机模型能够捕捉更丰富的密度演化。然而，当随机动力学被重构为确定性表示（如概率流 ODE）时，漂移（定向输运）和扩散（密度重塑）的独特机制往往被压缩为单一的有效速度场。这种坍缩模糊了确定性演化与随机波动之间的具体作用，使得在采样过程中难以分析、控制或独立重组这些效应。现有方法通常将随机性视为外部噪声源，或将其完全吸收进统一的漂移中，未能提供一种结构化的确定性表示，将输运与扩散诱导效应分离开来。

方法论：输运 - 渗透分解

作者提出了一个理论框架，将随机生成过程的确定性速度场分解为两个 distinct、互补的组件：输运场（$u_t$）和渗透场（$d_t$）。

1. 理论推导

该分解源于随机过程内在的双向结构。对于给定的边际密度路径 $\{\pi_t\}_{t \in [0,1]}$，前向漂移 $b^\to_t$ 和后向漂移 $b^\leftarrow_t$ 通过边际得分 $\nabla \log \pi_t$ 耦合。在标准正则性条件下，关系如下：
$$b^\to_t(x) - b^\leftarrow_t(x) = \beta \nabla \log \pi_t(x)$$
其中 $\beta$ 是扩散系数。

作者定义分解如下：

• 输运场（$u_t$）：对称分量，定义为前向和后向漂移的平均值：
  $$u_t(x) = \frac{1}{2} (b^\to_t(x) + b^\leftarrow_t(x))$$
  该场通过连续性方程（$\partial_t \pi_t + \nabla \cdot (\pi_t u_t) = 0$）控制边际概率输运。它代表了动力学的确定性骨架，在不通过扩散改变局部密度几何结构的情况下移动概率质量。
• 渗透场（$d_t$）：反对称分量，定义为前向和后向漂移差值的一半：
  $$d_t(x) = \frac{1}{2} (b^\to_t(x) - b^\leftarrow_t(x)) = \frac{\beta}{2} \nabla \log \pi_t(x)$$
  该场完全由边际得分决定。它捕捉扩散诱导的、依赖于密度的效应（类似于经典扩散理论中的渗透速度）。它不代表样本层面的随机性，而是反映扩散如何重塑边际密度。

原始前向漂移重构为 $b^\to_t = u_t + d_t$。

2. 桥匹配（BM）框架

为了学习这些分解后的场，作者提出了桥匹配（Bridge Matching），这是一种基于流的训练框架。BM 不是学习单一的有效速度，而是学习两个独立的神经网络：$u_\theta$（输运）和 $d_\phi$（渗透）。

训练目标是一个回归损失，用于将学习到的场与目标场进行匹配：
$$\mathcal{L}_{BM} = \mathbb{E}_{t, x_t} \left[ \| u_\theta(x_t, t) - u^*(x_t, t) \|^2 + \lambda_d \| d_\phi(x_t, t) - d^*(x_t, t) \|^2 \right]$$

本文提出了两种构建目标 $u^*$ 和 $d^*$ 的公式：

• 边际桥匹配（MBM）：直接针对边际分解。输运目标 $u^*$ 满足指定路径的连续性方程，而渗透目标 $d^*$ 源自边际得分 $\nabla \log \pi_t$。这需要估计边际得分，通常通过核密度估计（KDE）实现。
• 条件桥匹配（CBM）：使用可处理的条件分布 $p_t(x|z)$（例如端点之间的高斯插值）来避免显式的边际得分估计。目标被条件定义：$d^*_t(x, z) = \frac{\beta_t}{2} \nabla_x \log p_t(x|z)$ 且 $u^*_t = v^*_t - d^*_t$。对条件变量 $z$ 的期望恢复了边际分解。

3. 采样与重组

该框架的一个关键特征是在采样时能够重组学习到的场。前向采样动力学定义为：
$$b^{BM}_t(x) = u_\theta(x, t) + \lambda_d d_\phi(x, t)$$
其中 $\lambda_d$ 是一个可调节的权重。这实现了可控采样，其中扩散诱导的渗透效应的贡献可以独立于输运骨架进行调整。

主要贡献

1. 输运 - 渗透分解：本文推导了随机生成动力学的形式化分解，证明了确定性模型和随机模型共享一个共同的边际输运骨架（$u_t$），但在如何将扩散诱导效应（$d_t$）整合到样本动力学中存在差异。
2. 桥匹配框架：作者提出了一个训练框架，利用边际和条件公式学习这些分解后的场，有效地将基于得分的信息与流式回归目标联系起来。
3. 可控且可解释的采样：实验结果表明，以不同权重（$\lambda_d$）重组学习到的组件，可实现对生成过程的可解释控制。调整 $\lambda_d$ 允许在生成图像的锐度与平滑度之间进行权衡，并改善了特定二维输运任务中的端点匹配。

实验结果

作者在二维输运任务（棋盘格、月牙形、高斯混合）和图像生成基准（CIFAR-10、ImageNet-32、ImageNet-64）上评估了桥匹配。

• 二维输运：在二维任务中，BM 变体在端点匹配方面达到了与标准流匹配（FM）基线相当的竞争力。发现最优渗透权重 $\lambda_d$ 取决于任务；对于复杂的多模态目标，增加渗透贡献改善了匹配，而对于更简单的结构，它可能会降低性能。
• 图像生成：在 CIFAR-10 和 ImageNet 子集上，CBM 模型达到了与 CFM-Diffusion 基线相当或更好的生成质量。关键在于，最优 $\lambda_d$ 随评估指标（FID、KID、IS）而变化，表明该分解提供了一种权衡生成质量不同方面的机制。值得注意的是，最佳性能并非总是在 $\lambda_d = 1$（理论重构）时达到，这表明采样时的重组为有限容量模型提供了有用的自由度。
• 可视化：矢量场的可视化证实，$u_t$ 驱动连贯的大规模输运，而 $d_t$ 表现出负责局部密度重塑的结构性、较小规模的模式。粒子级模拟说明了 $d_t$ 如何沿概率路径移动轨迹，而不会主导全局输运趋势。

意义与主张

本文声称提供了关于确定性和随机生成动力学的统一视角。通过明确将输运骨架与扩散诱导的密度塑造分离开来，这项工作提供了一种可解释的视角，说明随机性如何塑造概率输运。

作者强调，这种分解不仅仅是一个理论上的奇趣，而是一个用于可控性的实用工具。它允许从业者在采样时调整“渗透贡献”而无需重新训练，从而实现对样本特征（例如锐度与平滑度）的细粒度控制，并可能促进交互式采样过程（例如暂停、反转或从中间状态重新生成）。

本文对其范围保持适度，指出该分解最直接适用于基于场的生成动力学，并且学习独立的场会引入额外的建模和计算开销。未来的工作建议集中在减少这种开销的同时，在下游应用中保留可解释性和可控性优势。