Kerroll black holes

本文通过两种不同方法构建了 Carroll 引力中的旋转黑洞解：一种是通过给 Schwarzschild 黑洞赋予旋转荷而得到内禀的 Carroll 解，另一种则是通过将广义相对论按光速进行奇次幂展开，从而作为 Kerr 解的 Carroll 类比推导出“Kerroll”黑洞。

要点

想象宇宙是一块巨大而柔韧的织物。在我们的日常世界中，这块织物遵循爱因斯坦的广义相对论，其中空间与时间交织在一起，且没有任何东西能超越光速（$c$）。

本文探讨了如果设想一个光速实际上为零的宇宙，这块织物会发生什么。这被称为“卡罗尔引力”（Carroll gravity）。在这个奇异的世界里，时间与空间完全解耦。时间变成了一面刚性、普适的时钟，对所有人以相同的节奏滴答作响；而空间则变成了一张冻结的、退化的薄片，你无法以通常的方式从一个点移动到另一个点。

本文的作者解决了一个大问题：在一个万物皆不能移动的宇宙中，如何拥有旋转的黑洞？

在常规物理中，旋转的黑洞（如著名的克尔黑洞）会拖曳其周围的空间。但在“冻结”的卡罗尔宇宙中，常规数学表明旋转是不可能的。作者找到了两个巧妙的“漏洞”，以在这个冻结的世界中创造旋转黑洞。他们将这些新物体称为**“克尔罗尔”（Kerroll）黑洞**（这是“克尔”Kerr 与“卡罗尔”Carroll 的双关语）。

以下是他们通过两种不同方法实现这一点的过程：

方法一：用“幽灵”自旋为冻结黑洞“穿衣”

将标准的、不旋转的卡罗尔黑洞想象成一尊雕像。它很重，拥有视界，但完全静止。

在标准物理中，自旋是空间形状本身的属性。但在这种特定类型的卡罗尔引力（称为“磁”型）中，作者意识到自旋不必存在于空间的形状中；它可以隐藏在事物如何连接的“规则”里。

• 类比： 想象一片冻结的湖面（即空间）。通常，如果湖面是平的，它就不会旋转。但想象你可以在冰面上绘制不可见的“电流”或“指令”，告诉滑冰者如何转弯，尽管冰面本身并未移动。
• 结果： 他们取了一个标准的、冻结的卡罗尔黑洞，并用这些不可见的连接规则为其“穿衣”。这个黑洞看起来是静态的，但它携带着隐藏的“角动量”荷。这就像一尊雕像，却在秘密地握着一个旋转的陀螺。这是一种纯粹的卡罗尔式发明；在我们正常、高速运动的宇宙中，没有与之对应的等价物。

方法二：“奇次幂”展开（克尔罗尔黑洞）

第二种方法更像是拍摄一部旋转克尔黑洞的电影，然后逐帧以极慢的速度播放，以观察当光速降至零时会发生什么。

• 问题： 当物理学家通常将光速减缓至零时，他们只关注“偶次”步骤（如 $c^2$、$c^4$）。他们发现，如果只看这些偶次步骤，自旋会完全消失。黑洞停止旋转。
• 发现： 作者意识到他们遗漏了“奇次”步骤（$c^1$、$c^3$）。这就像一场舞蹈，自旋发生在“和”拍（即弱拍）上，而不是主拍上。
• 结果： 通过在数学中包含这些“奇次”步骤，他们发现了一种新型的黑洞：克尔罗尔黑洞。
  • 在这个版本中，旋转并非空间主要形状的特征。相反，自旋是一种“微妙的回声”或“幽灵”，出现在展开式的低阶细节中。
  • 这就好比黑洞正在旋转，但这种旋转如此微弱，且隐藏在现实的“奇次”层级中，以至于你必须非常仔细地观察才能看到它。

这对黑洞意味着什么？

本文计算了这些物体的外观及其行为：

1. 它们是真实的解： 它们不仅仅是数学技巧；它们满足了这种特定类型引力的所有复杂方程。
2. 它们拥有“荷”： 就像旋转的陀螺具有角动量一样，这些黑洞携带可测量的“自旋荷”。
3. 它们与正常黑洞不同：
   • 在正常的旋转黑洞中，空间会被拖曳（参考系拖曳）。而在克尔罗尔黑洞中，这种拖曳效应在某些方面是不同的或缺失的，因为时间的“冻结”性质改变了规则。
   • 粒子围绕这些黑洞运动的路径（测地线）是独特的。例如，在“穿衣”版本中，粒子的能量以某种方式依赖于其自旋，这种情况在我们的正常宇宙中不会发生。

总结

作者成功地在光速为零的宇宙中构建了两种类型的旋转黑洞。

1. 一种是外观静态的黑洞，其连接规则中携带着隐藏的自旋荷。
2. 另一种是克尔黑洞的真正类比（即克尔罗尔），其中自旋只有通过观察通常被忽略的微妙“奇数”层级的数学细节才能显现。

他们将此称为“克尔罗尔”黑洞，这是一种仅存在于卡罗尔引力那奇异、冻结领域中的新物体，证明了即使在一个万物皆不能移动的世界里，事物仍然可以旋转。

技术摘要

技术摘要：Kerroll 黑洞

问题陈述
在 Carroll 引力中构建旋转黑洞解的历史进程曾受到一个“不可行”定理 [55] 的阻碍，该定理断言：在维度 $D > 3$ 下，磁 Carroll 引力的每一个稳态轴对称解必须是静态的。这一限制源于 Kerr 度规的标准 Carroll 极限（通过光速 $c$ 的偶次幂展开导出）无法满足磁 Carroll 引力所要求的空间 Ricci 标量约束（$R[g_{ij}] \approx 0$），除非旋转参数为零。因此，现有的 Carroll 黑洞模型，如 Carroll–Schwarzschild 解，仅限于非旋转构型。本文探讨了 Carroll 引力中是否存在旋转几何，如果存在，如何在遵守理论约束的前提下构建它们。

方法论
作者采用两种不同的方法来构建旋转 Carroll 黑洞，两者均利用了引力的哈密顿形式和 ADM 分解：

1. 磁 Carroll 引力中的正则方法：
   作者分析了磁 Carroll 引力的渐近对称性和边界条件。他们利用了 Carroll 兼容联络中固有的自由度，该联络并非仅由度规数据完全确定。在哈密顿形式中，正则动量 $\pi_{ij}$ 充当独立数据（拉格朗日乘子），而非像广义相对论中那样可由度规解出。作者证明，通过用非零的正则动量（特别是 $\pi_{r\phi}$）“修饰”静态的 Carroll–Schwarzschild 解，可以在保持静态度规几何的同时诱导出非零的角动量荷。这种旋转完全编码在联络自由度中。

2. 广义相对论的奇次幂展开：
   作者提出了一种新的引力理论，该理论源于广义相对论在光速 $c$ 的奇次幂上的展开，这与导出电 Carroll 引力和磁 Carroll 引力所使用的标准偶次幂展开形成对比。从 ADM 作用量出发，他们将空间度规 $g_{ij}$、其共轭动量 $\pi_{ij}$、时移 $N$ 和空移 $N^i$ 按 $c$ 的幂次（包括 $c^1$ 项）进行展开。通过在 $O(c^2)$ 阶截断该展开，同时保留奇次幂场，他们定义了“扩展磁 Carroll 引力”。该理论包含磁 Carroll 引力作为一个子扇区，但拥有与奇次幂场相关的额外物理自由度。随后，他们将此框架应用于 Kerr 度规，展开其 ADM 变量，以识别一个在次领头奇次幂项中保留旋转信息的解。

主要贡献与结果

• 标准磁 Carroll 引力中的旋转解：
  作者通过用旋转荷“修饰”Carroll–Schwarzschild 黑洞，在磁 Carroll 引力中构建了旋转解。

  • 机制： 旋转并未体现在空间度规 $g_{ij}$ 中（该度规保持静态且对角），而是编码在正则动量 $\pi_{ij}$ 及相关联络系数中。
  • 测地线与对称性： 他们计算了这些解的测地线和 Killing 场。虽然测地线的有效势与非旋转情况相似（缺乏稳定圆轨道），但时间平移的能量关系获得了一个依赖于角动量的项。关键在于，他们表明在洛伦兹 Kerr 测地线中存在的参考系拖曳效应，在此 Carroll 构造中是缺失的。
  • 解的性质： 这些解本质上是 Carroll 的；它们在爱因斯坦引力中没有已知的类比，因为旋转仅由联络承载，这是 Carroll 时空退化度规结构所特有的特征。

• "Kerroll"黑洞：
  作者引入了一种新解，即源于扩展磁 Carroll 引力框架的"Kerroll 黑洞”。

  • 构建： 该解是通过在奇次幂展开中取 Kerr 度规的 $c \to 0$ 极限获得的。旋转参数 $a$（与角动量 $J$ 相关）出现在 $O(c)$ 阶的空移矢量 $N^i$ 和正则动量 $\rho_{ij}$ 中。
  • 自由度： 扩展理论比标准磁 Carroll 引力拥有更多的自由度（例如，在 $D=4$ 时有 5 个自由度）。旋转是一种“本质上的奇次幂效应”，这解释了为何标准的偶次幂展开无法捕捉 Kerr 度规的旋转极限。
  • 荷： 作者计算了 Kerroll 黑洞的边界荷。角动量荷 $J$ 作为与次领头微分同胚生成元相关的次领头边界荷出现，其标度为 $J \sim c J^{(1)}$。质量/能量荷的标度为 $E \sim c^2 M$。

• 热力学展望：
  文章简要讨论了热力学影响。对于 Kerroll 黑洞，作者建议热力学第一定律应源于洛伦兹对应物的展开，这与 $O(c^2)$ 截断一致。他们提出了熵、温度和角速度展开的关系式，但指出在扩展理论内部进行独立推导仍是一项未完成的课题。

意义
本文声称解决了洛伦兹引力中旋转黑洞的存在性与磁 Carroll 引力不可行定理之间的明显矛盾。

1. 内在的 Carroll 旋转： 它证明了利用独立的联络自由度可以在没有洛伦兹类比的情况下实现 Carroll 引力中的旋转，挑战了静态性是所有 Carroll 解严格要求的观念。
2. 新的引力扇区： 它确立了“扩展磁 Carroll 引力”作为一个自洽理论，能够容纳 Kerr 度规的 Carroll 极限。这提供了一个理论框架，其中旋转信息通过奇次幂展开得以保留，从而提供了广义相对论 Carroll 极限的更完整图景。
3. 全息与宇宙学相关性： 通过构建旋转解，这项工作为在平直空间全息和 Carroll 宇宙学的背景下研究旋转黑洞开辟了途径，在这些领域中 Carroll 对称性正变得日益重要。

作者总结道，虽然他们的构建成功绕过了不可行定理，但需要进一步研究以完全理解这些解的热力学性质（特别是第一定律）以及它们在更高维度中的行为。