Coarse-grained local available potential energy

本文构建了一个粗粒化框架，用于推导局部有效势能的多尺度演化方程，其中包含跨尺度通量项，从而实现对分层流动中跨空间尺度和储层能量循环的完整分析。

要点

想象一片巨大而不可见的海洋，其中不同密度的水层（如同油与水混合，但处于混合状态）不断旋转、混合并翻腾。科学家们早已知晓，这种流体拥有两种主要的“燃料”或能量：动能（运动的能量，如流动的洋流）和势能（等待释放的储存能量，如静卧在山丘上的巨石）。

本文介绍了一种观察这种储存能量如何移动、分解和改变形态的新方法。以下是用通俗语言进行的分解说明：

1. 问题所在：观察“宏观全景”与“微观细节”

传统上，科学家一次性观察整个海洋的总能量。这就像从直升机上俯瞰森林，只能看到一团绿色的模糊轮廓。你知道能量在流动，却无法看清具体哪棵树在倒下，或者风是如何推动某一片特定树叶的。

其他方法试图将森林拆分为“平均树木”和“摇摆树叶”，但它们往往无法准确追踪这些现象究竟发生在森林的哪个具体位置。

2. 解决方案：“粗粒化”透镜

作者开发了一种新的数学“透镜”（称为粗粒化）。想象给海洋拍张照片，然后将其略微模糊化。

• 模糊照片（大尺度）： 这展示了巨大、缓慢移动的洋流和波浪。
• 清晰细节（小尺度）： 这是原始清晰照片与模糊照片之间的差异。它展示了微小的涡流、旋涡以及混乱的混合过程。

本文的主要成就在于建立了一套规则（方程），用于追踪能量如何在这些“模糊”的大洋流与“清晰”的微小旋涡之间流动。

3. 能量循环：一个金融类比

将海洋的能量想象成一个拥有两种货币的银行账户：

• 动能（KE）： 你口袋里的现金（随时可花/可动）。
• 可用势能（APE）： 储蓄账户里的钱（可转换为现金的储存价值）。

本文描绘了一个完整的“能量循环”，包含三个主要交易环节：

1. 将储蓄转换为现金： 有时，储存的能量（APE）会转化为运动（KE）。想象一块巨石从山丘滚落并引发滑坡。
2. “税收”（耗散）： 随着水体的混合，部分能量会以热量形式永久损失（不可逆混合）。这就像一笔从系统中消失的交易手续费。
3. 跨尺度传输（重大创新）： 这是本文的重大发现。能量并不仅仅停留在“大”或“小”的类别中。
   • 向下传输： 大波浪可以破碎，将其能量倾泻到微小的旋涡中（如同巨浪撞击成泡沫）。
   • 向上传输： 有时，微小的旋涡可以组织起来，推动更大的洋流（如同许多小鸟编队飞行形成一股更大的气流）。

作者推导出了一个特定公式，用于精确测量在任何给定时刻，有多少“势能”正从大尺度移向小尺度（反之亦然）。

4. 试驾：“滚动波”实验

为了证明其新透镜的有效性，作者运行了一个特定现象的计算机模拟，即开尔文 - 亥姆霍兹不稳定性。

• 比喻： 想象两层水以不同速度移动，如同一条快河在慢河之上流过。最终，它们开始卷曲成巨大的滚动波浪（就像暴风雨前你在天空中看到的云）。
• 他们的发现：
  • 他们观察了这些巨大滚卷的形成与破碎。
  • 他们看到“储存能量”（APE）从巨大的滚卷中涌出，进入连接这些滚卷的微小、混乱的丝状结构（辫状结构）中。
  • 一旦进入这些微小丝状结构，该能量便转化为运动（KE），随后因混合而损失为热量。
  • 他们还注意到，在模拟后期，巨大的滚卷出现了一种“晃动”，导致能量在大尺度与小尺度之间来回反弹，如同钟摆摆动。

5. 为何这很重要

在这篇论文之前，科学家们拥有一张关于运动（动能）如何在大尺度与小尺度之间流动的优秀地图。现在，他们拥有了关于储存能量（势能）的匹配地图。

通过将这两张地图结合起来，科学家们终于能够看清海洋的完整能量循环。他们现在可以精确定位能量在哪里被储存、在哪里转化为运动、以及在哪里作为热量被浪费，同时还能追踪这些过程是发生在巨大的洋流中还是微小的旋涡里。

简而言之： 作者构建了一副新眼镜，让我们能够实时观察海洋的“电池”（储存能量）如何在巨浪与微小涟漪之间充电、放电并移动。

技术摘要

问题陈述
可用势能（APE）是理解分层流体能量学和动力学的基本物理量，它量化了可用于绝热转化为动能（KE）的那部分势能，并作为不可逆跨等熵面混合的诊断指标。尽管 APE 常被视作全局积分量，但也存在空间局部的定义。然而，现有分析局部 APE 尺度依赖性演化的方法——特别是谱分析和雷诺平均——存在局限性。谱方法会丧失空间局部性，而雷诺平均无法对分解的空间长度尺度提供独立的控制。因此，亟需一种框架，能够像处理动能那样，通过空间尺度分解 APE，同时保留关于能量传输机制物理位置的信息，即采用成熟的粗粒化（空间滤波）方法。

方法论
作者利用空间滤波方法，建立了局部 APE 密度粗粒化演化的理论框架。

• 定义：局部 APE 密度（$E_A$）定义为流体状态与其绝热重排后的最小势能状态之差。
• 分解：通过具有核函数 $G$ 的空间滤波器，将 APE 分解为大尺度（$E_A^l$）和小尺度（$E_A^s$）分量。关键在于，大尺度 APE 虽使用滤波后的密度场定义，但其参考状态仍基于总未滤波密度场计算，以保持与标准 APE 定义物理上的一致性。
• 推导：通过对大尺度 APE 取物质导数并对总 APE 方程进行滤波，推导出了大尺度和小尺度 APE 的演化方程。这涉及将平流算子展开为大尺度和小尺度速度，并利用 Leonard 应力张量 $\tau(f, g) = \overline{fg} - \overline{f}\overline{g}$。
• 整合：将这些新的 APE 方程与现有的粗粒化 KE 方程配对，构建了一个完整的多尺度能量循环。
• 应用：该框架应用于使用有限体积代码 Oceananigans.jl 进行的二维开尔文 - 亥姆霍兹（KH）不稳定性数值模拟。模拟采用的雷诺数（$Re$）为 2097，最小理查森数（$Ri$）为 0.1，普朗特数（$Pr$）为 1。

主要贡献

1. 跨尺度 APE 通量的推导：主要的理论成果是推导出了跨尺度 APE 通量项 $\Pi_A = -\tau(u_i, \rho)\partial_i \Upsilon^l$。这一伽利略不变项量化了 APE 在尺度间的传输，作为广泛研究的跨尺度 KE 通量（$\Pi_K$）的 APE 对应项。
2. 完整的能量循环：本文建立了一个完整的能量收支，涵盖了空间尺度间（大尺度到小尺度及反之）以及能量储层间（APE 和 KE）的传输。其中包括：
   • APE 与 KE 之间的可逆转换项（$w b_r$ 和 $\tau(w, b_r)$）。
   • 跨尺度通量（$\Pi_A$ 和 $\Pi_K$）。
   • 输运项。
   • 耗散项（$\varepsilon^l_A, \varepsilon^s_A$），区分了大尺度耗散（包含内能向势能的转换）和小尺度耗散（代表不可逆的非绝热混合）。
   • 与参考密度剖面（$R$）时间演化相关的项，该项在尺度间重新分配 APE。
3. 理论区别：作者强调了粗粒化 KE 与 APE 之间的概念区别：虽然大尺度 KE 仅依赖于滤波场，但大尺度 APE 隐式地依赖于小尺度场，因为参考状态是由总未滤波密度构建的。

KH 不稳定性模拟结果

• 尺度依赖性通量：跨尺度 KE 通量（$\Pi_K$）在大尺度上表现为正向传输（不稳定性增长），但在约半个波包波长尺度处切换为向上传输。相反，跨尺度 APE 通量（$\Pi_A$）在较大尺度上表现为向上传输，而在较小尺度上表现为向下传输。
• 收支动力学：
  • 在滤波尺度 $l=7$（初始不稳定性波长的一半）处，小尺度 APE 通过 KE 转换增加，随后传输至大尺度 APE。
  • 在较小尺度（$l=1$）处，小尺度 APE 主要通过向下传输增加，部分被转换为 KE 所抵消。随后，这部分小尺度 KE 被反向传输至更大尺度，这与二维湍流中直接 KE 级联效率低下的预期一致。
  • 观察到 APE 在尺度间的振荡交换，这与涡旋的进动（nutation）有关。
• 空间分布：在跨尺度 APE 传输达到峰值时，通量在“辫状区”（高应变区域）和波包边缘最为强烈。
• 耗散：小尺度 APE 耗散（作为非绝热混合的代理）在辫状区以及辫状区与涡核的交界处增强。值得注意的是，即使在后期演化中波包核心存在静力不稳定区域，非绝热混合在波包边缘依然保持增强。

意义
本文声称，该粗粒化框架为研究局部 APE 的多尺度演化提供了强有力的工具。通过提供对空间长度尺度的控制同时保留物理局部性，该方法使研究人员能够：

• 考察势能如何在尺度间传输。
• 分析 APE 与 KE 之间依赖于尺度的交换。
• 将跨尺度能量传输与非绝热过程联系起来。

作者将这项工作定位为对现有 KE 框架的必要扩展，有助于更全面地理解分层流动中的完整能量循环，范围涵盖从三维湍流到行星尺度环流。他们指出，大尺度 APE 通过参考状态对小尺度场的隐式依赖是一个独特的特征，需要进一步考量。