Indefinite probabilities in quantum spacetime: A deepening of unpredictability

本文证明，在自旋-1/2 系统中采用 $SU_q(2)$ 量子群来描述旋转对称性，会导致非对易的概率算符及相应的不确定性原理，从而建立起一种“不定概率”框架，从根本上阻止观测者精确测量其相对取向。

要点

想象一下，你正在试图弄清楚两个人在房间里相对于彼此是如何站立的。在我们日常的世界中，如果爱丽丝向鲍勃发送一堆箭头（代表自旋粒子），这些箭头指向特定方向，而鲍勃用他自己的一套箭头来测量它们，他就能计算出一个精确的“旋转映射”，从而确切地知道他的房间相对于爱丽丝的房间转了多少。在这个经典世界里，箭头指向上方或下方的“概率”只是一个数字，比如 50% 或 75%。它是一个固定且可预测的统计量。

本文提出，如果我们通过量子引力（即关于空间和时间在最小可能尺度上如何运作的理论）的透镜来观察宇宙，这幅简单的图景就会崩塌。作者维托里奥·德·埃斯波西托（Vittorio D'Esposito）、朱塞佩·法比亚诺（Giuseppe Fabiano）和多梅尼科·弗拉图利洛（Domenico Frattulillo）提出了一个激进的新观点：概率本身可以是模糊且未定义的。

以下是他们发现的分解，使用了简单的类比：

1. “模糊”的指南针

在标准量子力学中，一个粒子（如电子）在被测量之前没有确定的位置。但一旦你测量它，你就会得到一个结果，而得到该结果的几率是一个确定的数字。

作者们认为，在“量子时空”中，甚至连几率（概率）都不是一个确定的数字。相反，概率就像一根模糊的指南针指针。

• 正常世界： 如果你问，“出现正面的几率是多少？”答案是一个固定的数字，比如 0.5。
• 量子时空： 答案不是一个数字；它是一个“量子对象”，可以处于不同几率的叠加态。这就好比硬币翻转本身在测量其可能性之前，还没有决定它有多可能落地为正面。

2. “编织”的信使

为了让这个数学模型成立，作者们使用了一个称为**编织（braiding）**的概念。想象你有两个人，爱丽丝和鲍勃，试图互相交谈。

• 在普通房间里，如果爱丽丝说话而鲍勃倾听，他们的声音不会干扰彼此说话的能力。
• 在这个量子世界里，“信使”（粒子）和“接收者”（测量设备）如此深刻地交织在一起，以至于它们像两股编成辫子的发丝一样被编织在一起。

由于这种编织，游戏规则发生了改变。如果爱丽丝试图测量粒子自旋“向上”的概率，而鲍勃试图测量它自旋“向右”的概率，那么这两次测量无法同时以完美的精度完成。

3. “不可测量”的角度

这篇论文最大的亮点在于相对方向。

• 目标： 爱丽丝和鲍勃想要确切地知道鲍勃的房间相对于爱丽丝的房间旋转了多少。
• 问题： 为了找出这一点，他们需要测量自旋结果的概率。
• 结果： 由于概率是“不确定的”（它们无法同时具有固定值），爱丽丝和鲍勃永远无法以完美的精度确定他们的相对角度。

这就像试图测量两把尺子之间的角度，但尺子本身是由雾气制成的。无论你的眼睛有多好，或者你看了多少次，你永远无法得到一个清晰、精确的角度数值。“角度”本身变成了一个模糊的、量化的东西。

4. 为什么这很重要（根据论文）

作者们将这种现象称为**“双重量子力学”**。

• 第一层不确定性： 在普通量子力学中，你无法预测测量的结果会是什么（例如，硬币会是正面还是反面？）。
• 第二层不确定性： 在这个新框架中，你甚至无法预测得到正面或反面的几率是多少。

他们认为，这不仅仅是我们技术的局限性；它是宇宙的一个基本特征。即使你有无限的时间、无限的金钱和完美的仪器，你仍然无法确定概率或两个观察者之间的相对方向。“模糊性”被 baked 进了时空本身的织物中。

总结

把宇宙想象成一场巨大而复杂的舞蹈。

• 经典物理学： 舞者在坚实的地板上移动。你可以精确预测他们会在哪里。
• 标准量子物理学： 舞者在雾蒙蒙的地板上。你无法确切看到他们在哪里，但你知道他们移动的规则（概率）。
• 这篇论文的“量子时空”： 地板本身就是由雾气构成的。你不仅看不到舞者，而且舞蹈的规则（概率）也在不断变化且未定义。你甚至无法就下一步的“几率”达成一致，使得舞者的相对位置从根本上变得不可知。

该论文得出结论，这种“不确定的概率”是将空间和时间视为量子对象的自然结果，从根本上加深了现实的不确定性。

技术摘要

技术摘要：量子时空中的不定概率

问题陈述
本文探讨了量子理论与引力之间接口处的一个基础性缺口。虽然广义相对论规定物理内容仅存在于关系量中（例如观察者之间的相对取向），但标准量子力学将这些关系几何参数视为经典的、对易的数。作者提出，在量子引力效应显著的机制下，几何量（如空间方向）会获得非经典特征，例如非对易性。因此，源于这些几何关系的测量结果概率本身应表现出非经典行为。核心问题在于确定从经典时空到量子时空的过渡如何影响概率本身的性质，具体而言，概率是否可以同时被赋予确定值，或者它们是否变得“不定”。

方法论
作者采用了**双重量子力学（DQM）**框架，这是对量子理论的一种形变，其中物理系统的相空间及其几何构型均由量子自由度描述。具体方法论包括：

1. 量子群形变：标准的旋转对称群 $SU(2)$被提升为其量子形变$SU_q(2)$。在此框架中，群参数是非对易算符，而非复数。形变参数$q$被视为普朗克长度和宇宙学常数的函数，当$q \to 1$ 时恢复经典极限。
2. 算符值概率：自旋态和施特恩 - 格拉赫（Stern-Gerlach）装置的方向由 $q$-旋量（算符值向量）描述。自旋测量结果的概率被构建为作用于“几何态”希尔伯特空间（$H_A$）上的投影算符的期望值。这将概率从实数提升为作用于 $H_A$ 上的自伴算符（$P$）。
3. 编织形式：为了确保理论在 $SU_q(2)$ 变换下的完全协变性，作者引入了编织关系。这是一个关键步骤，其中固定了代表不同自旋束或测量装置的不同量子群副本之间的交叉对易关系。如果没有编织，对易关系在旋转下将无法保持。编织关系（涉及 $R$-矩阵）确保了与不同测量设置相关的算符不对易。
4. 微扰分析：计算了两个不同概率算符之间的对易子。分析在形变参数 $(1-q)$ 的领头阶展开，假设 $q$ 接近 1，以推导出一个可处理的测不准原理。

主要贡献与结果

• 不定概率：主要结果是证明了与不同测量设置（例如沿不同轴测量自旋或使用不同装置）相关的概率算符不对易。具体而言，对易子 $[P_i(\uparrow), P_j(\uparrow)]$ 非零。
• 概率的测不准原理：这种非对易性导致了概率测量之间的基本测不准原理。对于两个概率算符 $P_i$ 和 $P_j$，导出的不确定关系为：
  $$\Delta P_i \Delta P_j \geq \frac{(1-q)}{4} \left| \langle (\mathbf{b}_{m_i} + \mathbf{b}_{m_j}) \cdot (\mathbf{b}_{n_i} \times \mathbf{b}_{n_j}) - (\mathbf{b}_{n_i} + \mathbf{b}_{n_j}) \cdot (\mathbf{b}_{m_i} \times \mathbf{b}_{m_j}) \rangle \right|$$
  其中 $\mathbf{b}_n$ 和 $\mathbf{b}_m$ 分别是与自旋束和施特恩 - 格拉赫装置对应的量子方向算符。这意味着，如果一个概率被精确测量，那么随后对另一个概率的测量结果就无法被确定地预测。
• 非对易旋转矩阵：本文将此结果应用于两个观察者（Alice 和 Bob）试图确定其相对取向的通信协议中。联系两个参考系的旋转矩阵元素 $R_{ij}$ 用概率算符表示（$R_{ij} \approx 2P_{ij} - 1$）。由于底层概率的非对易性，旋转矩阵的元素也不对易。
• 取向测量的基本极限：因此，即使拥有无限的资源和精度，两个观察者也无法精确测量他们的相对取向。相对取向成为一个“真正的量子对象”，受内禀量子涨落的支配。

意义与主张
本文声称首次在文献中引入了不定概率的概念。其意义在于深化了量子理论的不确定性：

• 标准量子力学在测量结果（单次试验的结果）中引入了不确定性。
• 这项工作表明，在量子时空中，不确定性延伸到了这些结果的概率本身。对于不同的测量背景，概率无法同时被赋予确定值。

作者强调，这是时空结构的一个基本特征，而非测量设备或资源的局限性。它源于时空对称性的非对易结构（通过 $SU_q(2)$）以及由此产生的几何态的非对易性。这一结果通过表明用于定义参考系的关系量（相对取向）本身受量子不确定性支配，加强了关于量子参考系的先前发现。本文得出结论，该框架要求修正对量子力学的理解，其中“背景”几何本身就是一个量子自由度，会受到概率测量行为的扰动。