Two pathways to diapycnal mixing in strongly stratified flows with no initial vertical shear

本研究结合线性理论与直接数值模拟，揭示了在无初始垂直剪切的强分层流中，水平剪切不稳定性不可避免地通过两种不同的路径驱动跨密度面混合——即通过垂直剪切的直接出现，或通过演化为柱状涡旋的非线性过程——这两者最终都会触发小尺度开尔文-亥姆霍兹不稳定性，但由于它们激发了不同的垂直尺度，因此会导致不同的混合效率。

要点

想象一下海洋或大气层是一个巨大的、分层的蛋糕。这些层是由不同密度的流体（就像不同口味的蛋糕）组成的，而且它们不容易混合。通常，科学家研究的是当我们同时在水平方向和垂直方向（垂直剪切）进行推动时会发生什么。但这篇文章提出了一个不同的问题：如果在极强分层的环境下，我们只在水平方向推动这些层，而没有初始的上下运动，会发生什么？

研究人员发现，即使我们从一个完美的、水平的流动开始，大自然也有两种截然不同的“配方”或路径来创造混沌（湍流）并混合这些层。大自然选择哪种配方，完全取决于你如何“播种”这个实验——本质上，取决于你在最初给出的那一点点微小的扰动。

以下是使用简单类比对这两条路径进行的拆解：

设置：平静的河流

想象一条宽阔、平静的河流在水平方向流动。水流像一叠煎饼一样层层叠叠（强分层）。起初，流动是平滑且二维的（它只进行左右移动，而不进行上下移动）。

路径 1：“拥挤房间”效应（直接路径）

如何开始： 你在到处同时给予河流一个微小的、随机的推动（就像向空中撒了一把纸屑）。
发生了什么：

1. 涟漪： 由于这些层级的存在，流体不仅仅是在左右方向产生涟漪；它立即开始在多个不同的尺寸上同时进行上下波动。可以把它想象成一群人在房间里同时试图移动，从而产生了一种混乱的多方向挤撞。
2. 剪切： 这些涟漪迅速产生了强烈的垂直电流（剪切）。
3. 破碎： 这些垂直电流变得如此强大，以至于它们发生断裂，产生了微小的、剧烈的涡流（就像微小的漩涡）。这就是“开尔文-亥姆霍兹”（Kelvin-Helmholtz）不稳定性，看起来就像风吹过水面时产生的破碎波浪。
   结果： 混合过程非常高效。因为能量分布在许多不同尺寸的涟漪中，所以“摩擦”（粘性耗散）较低，使得这种混合过程相对高效。

路径 2：“同步舞步”效应（间接路径）

如何开始： 你给予河流一个非常特定、有组织的推动（就像指挥家挥动手中的指挥棒，让每个人都按照特定的模式移动）。
发生了什么：

1. 涡旋： 流体并没有产生混乱的涟漪，而是自我组织成了长形的、垂直的旋转水柱（就像在河流中竖立起巨大的龙卷风）。在很长一段时间内，流动保持完美的二维状态，仅仅是这些巨大的旋转柱。
2. 摇晃： 最终，这些巨大的水柱变得不稳定了。它们开始以一种非常特定的、高频的方式摇晃。研究人员称之为“双曲不稳定性”。想象一个旋转的陀螺，在倒下之前开始剧烈地摇晃。
3. 破碎： 这种剧烈的摇晃创造了极其薄且锐利的垂直剪切层。随后，这些薄层断裂成微小的、剧烈的涡流，就像路径 1 中所描述的那样。
   结果： 混合确实发生了，但效率较低。为什么呢？因为这条路径创造了极其薄且锐利的层。创造并破碎这些微小、锐利的层需要消耗大量的能量（摩擦）。这就像是用钝刀（路径 1）去切一块厚奶酪，对比用剃须刀片（路径 2）去切。

核心结论

这篇论文证明了垂直剪切（上下运动）不需要初始存在。 在强分层的流体中，垂直剪切是水平剪切必然产生的副产品，只要流体足够厚（高雷诺数）。

• 如果你从随机噪声开始： 你会得到路径 1（直接、高效的混合）。
• 如果你从特定模式开始： 你会得到路径 2（间接、效率较低的混合）。

研究人员利用强大的计算机模拟表明，这两条路径是真实且截然不同的，并且你选择的“配方”决定了有多少能量作为热量被浪费，有多少能量被用于实际的层间混合。

简而言之： 即使在完美的、分层的流体中，水平的推动最终也会产生垂直的混沌。但取决于你如何开始这次推动，这种混沌的表现形式将会不同，并且混合层级的效率也会有所不同。

技术摘要

问题陈述
大规模、强分层水平流向三维（3D）扰动的稳定性，是地球物理和天体物理系统中能量向下尺度传输及垂向扩散（diapycnel）输送的关键机制。虽然具有垂直剪切的分层流已得到深入研究，但其水平剪切对应物（无初始垂直剪切）受到的关注较少。一个核心问题仍然存在：最初为二维（2D）、强分层（$Fr \ll 1$）的水平剪切流是如何向湍流转变并产生垂直剪切的？既往文献表明存在两条不同的路径：一条涉及 3D 一次模态的直接增长从而导致开尔文-亥姆霍兹（KH）不稳定性；另一条涉及向柱状涡旋的非线性演化，随后发生二次不稳定性。然而，由于初始条件（例如双曲正切型与正弦型剖面）或问题表述（初始值问题与体强迫问题）的不同，目前尚不清楚这些路径是否因这些差异而互斥，或者它们是否代表同一物理系统中可用的替代路径。此外，所选路径对垂向扩散混合效率的影响尚未得到系统的量化。

方法论
作者结合线性稳定性理论与直接数值模拟（DNS），在三周期域内研究了这些转变过程。研究重点是在一个线性分层的流体中（具有恒定浮力频率 $N$），研究一个垂直不变的、水平的面平行柯尔摩哥夫流（$\bar{u}(y) = \sin(y)\mathbf{e}_x$）。模拟是在高雷诺数（$Re = 10,000$）和高佩克莱特数（$Pe = 10,000$）下进行的，具有低弗劳德数（$Fr = 0.15$和$Fr = 0.1$），从而得到浮力雷诺数（$Re_b = Fr^2 Re$）分别为 225 和 100。

为了隔离初始条件对路径选择的影响，研究进行了两组 DNS：

1. DNS1（路径 P1）： 使用网格尺度白噪声初始化，允许一次水平剪切不稳定性中所有的不稳定模态生长。
2. DNS2（路径 P2）： 使用网格尺度噪声加上针对一次不稳定性中增长最快的 2D（$k_z=0$）特征模态的特定“种子”进行初始化。

此外，作者对 DNS2 中出现的柱状流进行了一个“冻结”解析模型的线性稳定性分析。该模型将非线性演化的 2D 流近似为叠加了正弦流的泰勒-格林涡阵列，从而允许计算二次 3D 扰动的特征模态和增长率。

主要贡献与结果

1. 在单一设置中确认两条路径：
   研究证明，两种通往湍流的路径都可以在完全相同的模型设置中发生，其区别仅在于初始扰动谱：

• 路径 P1（直接 3D 生长）： 当以白噪声初始化时，一次水平剪切不稳定性中 $k_z \neq 0$ 的特征模态直接生长。这些模态产生宽尺度范围内的垂直剪切，当 $Re_b$ 足够大时，这些剪切随后会对二次、小尺度的 KH 不稳定性变得不稳定。这一路径与在体强迫柯尔摩哥夫流中的观察结果一致。
• 路径 P2（柱状演化）： 当注入 $k_z=0$ 模态时，该模态主导了流场，驱动背景进入一种长寿命、随时间变化的 2D 柱状（涡旋）流。该 2D 状态随后对二次 3D 模态变得不稳定。作者将这些二次模态识别为源于涡阵列中双曲停滞点的双曲不稳定性。这些不稳定性具有高垂直波数（$k_z \sim Fr^{-1}$），并驱动垂直剪切的出现，进而触发三次 KH 不稳定性。

2. 路径 P2 中二次不稳定性特征：
   通过对冻结柱状流的线性稳定性分析，作者表明该二次不稳定性是一种高 $k_z$ 双曲不稳定性。该不稳定性增长率与双曲点处的局部应变率（$\Delta_h$）成比例，且对于大振幅情况，其增长率 $\lambda \approx 0.46 \Delta_h$ 几乎与分层强度无关。该不稳定性表现为中心位于双曲点附近的垂直速度场的“波纹”，这与在孤立涡对中观察到的传统“锯齿形”不稳定性不同。

3. 对混合效率的影响：
   研究量化了两条路径的垂向扩散混合及混合效率（$\eta$）：

• 浮力耗散（$\chi$）： 两条路径中的浮力方差耗散峰值是相当的，因为两者都受小尺度运动（$k_z \gtrsim Fr^{-1}$）控制。
• 粘性耗散（$\epsilon$）： 路径 P2 比路径 P1 表现出显著更高的粘性耗散。这是因为 P2 中的双曲不稳定性激发了一个窄且高 $k_z$ 的谱，导致在薄垂直剪切层中产生剧烈的耗散。相比之下，P1 激发了一个宽广的垂直尺度谱，使耗散分布得更广。
• 混合效率： 因此，路径 P1 的峰值混合效率（$\eta_{max} \approx 0.25$）显著高于路径 P2（$\eta_{max} \approx 0.165$）。这种差异在于 P2 相对于其混合的浮力而言，耗散了更多的动能。

意义与主张
本文声称，只要流体具有拐点，在足够大的 $Re_b$ 条件下，由水平剪切不稳定性驱动的小尺度 KH 不稳定性产生的垂直剪切，是强分层流中不可避免的副产品。路径的选择取决于初始条件：具体而言，是 $k_z=0$ 模态相对于 $k_z \neq 0$ 模态的初始振幅之比。

作者指出，以往文献中路径 P2 的普遍存在（特别是在双曲正切剪切层研究中）可能是初始化实践的一种人工产物，即为了加速计算通常会添加 $k_z=0$ 种子，从而抑制了 3D 模态的直接生长（路径 P1）。相反，在某些背景下缺乏 P1 可能是由于较弱的分层限制了不稳定 $k_z \neq 0$ 模态的范围。

最终，这项工作确立了水平剪切不稳定性是生成分层湍流和垂向扩散混合的关键参与者，即使在不存在预先存在的垂直剪切的情况下也是如此。它强调了，进入湍流的具体路径（直接 3D 生长 vs. 2D 向 3D 的转变）从根本上改变了能量耗散谱，从而改变了混合效率，这是在气候和地球物理模型中进行湍流参数化时必须考虑的一个因素。作者指出，尽管其结果在理想化流体中是稳健的，但在现实地球物理环境中，旋转与环境波场的相互作用仍是一个开放性问题。