Quantum vortex in a fluid flow: negative effective mass and a novel mechanism for turbulence formation

技术摘要：流体流动中的量子涡旋：负有效质量与湍流形成的新机制

问题陈述
本文旨在解决描述流动流体中量子涡旋（特别是圆形涡旋丝）动力学的挑战。虽然经典流体力学提供了成熟的涡旋运动框架，但在量子背景下，由于量化方法的复杂性，情况仍具有模糊性。作者指出，标准方法通常将涡旋视为拓扑缺陷，或依赖于在涡旋核心半径趋于零时变得具有歧义的正规化程序。本研究重点研究在周围流体以非零速度 $v$ 流动的无限圆柱管内，一个薄的圆形量子涡旋丝的能量谱 $E(p)$。主要目标是调查这种流速如何影响涡旋的有效质量，并探索这些动力学如何解释量子湍流的发生。

研究方法
作者采用了一种针对经典闭合涡旋丝的新型量化技术，这不同于标准的拓扑缺陷方法。该方法通过以下步骤进行：

1. 经典模型构建： 将系统建模为在半径为 $R_0$ 的管道内运动、半径为 $R$、核心半径为 $a$ 的圆形涡旋丝。流体密度为 $\varrho_0$，声速为 $v_0$。涡旋丝的动力学由涉及无量纲参数 $\alpha$ 和 $\omega$ 的特定演化方程控制，并使用局部感应近似（LIA）及非零核心流进行描述。
2. 哈密顿量表述： 作者并非通过具有歧义的流体正规化来定义能量，而是利用基于中心扩张伽利略群 $\tilde{G}_3$ 的群论方法。涡旋被视为具有内部自由度的粒子。相空间通过独立的哈密顿变量进行构建：涡旋动量 $p$、中心位置 $q$，以及由环半径和旋转相位导出的内部变量 $\varpi$ 和 $\chi$（其行为类似于谐振子）。
3. 量化： 系统在希尔伯特空间 $H_1 = H_{pq} \otimes H_b$ 中进行量化，其中 $H_{pq}$ 代表管道中的自由粒子，$H_b$ 代表量化的谐振子。环量 $\Gamma$ 被提升为一个动力学变量。量化过程导致了两个谱问题：一个用于确定量化环量值 $\Gamma_{m,n}(p)$，另一个用于确定“条件能量” $E^\#_{m,n}(p)$。
4. 能量恢复： 为了获得与真实时间相关的物理能量 $E_{m,n}(p)$，作者通过考虑涡旋半径和环量的量化性质，将条件时间演化与物理时间联系起来。这产生了一个依赖于动量 $p$ 和外部流参数 $p_0$（其中 $p_0 = M_{eff}v$）的无量纲能量函数。

主要贡献与结果
研究得出了关于涡旋能量谱和有效质量的若干重要理论发现：

• 速度依赖型能量谱： 推导出的能量谱 $E(p)$ 显示出对流体流速 $v$（通过参数 $p_0$）的显著依赖性。
• 负且大的有效质量： 对能量函数驻点的分析表明，随着流速增加，能谱会产生额外的驻点。这些点对应于涡旋表现出正或负有效质量的准稳态。具体而言，能量对动量的二阶导数 $\partial^2 E / \partial p^2$ 可以变为负值，表明存在负有效质量。
• 无限质量极限： 在临界动量值处，有效质量趋于无穷大（能量曲线的一个拐点）。该状态被认为是对于单个涡旋而言是不物理的，但它作为一个过渡点。
• 耦合涡旋对： 本文提出，通过考虑耦合涡旋对可以解决单个涡旋的不物理无限质量状态。一个由正有效质量 ($M^{(+)}_{eff}$) 涡旋和负有效质量 ($M^{(-)}_{eff}$) 涡旋组成的对，即使在流速趋于零时，也可以拥有有限且非零的总有效质量。
• 量子雷诺数判据： 通过利用海森堡不确定性原理分析这些耦合对的稳定性，作者推导出了形成此类涡旋对的判据。由此定义了量子雷诺数 ($Re_q$)。论文断言，当 $Re_q$ 超过临界值 $R^c_q$ 时，会发生湍流形成（特别是耦合涡旋对的产生）。该临界值取决于流体常数、定义域几何形状以及初始涡旋态的量子数。

意义与主张
该论文声称提供了一个理解量子湍流的新框架，通过将湍流态的出现与具有负有效质量的涡旋对联系起来。作者认为，在流动量子流体中向湍流机制的转变，可以被解释为这些耦合涡旋态的物理体现。

研究断言，其方法提供了一种确定量子湍流中临界雷诺数的方法，而无需依赖标准的拓扑缺陷模型。通过将涡旋视为具有内部自由度的量化经典系统，该模型避免了核心正规化的歧义，并提供了一种在特定流条件下从单个涡旋自发生成复杂涡旋结构（涡旋对）的机制。作者指出，虽然该模型目前仅限于非相互作用或弱相互作用的涡旋，但该框架是可扩展的，可用于处理多涡旋系统，为计算量子流中湍流起始的临界参数提供了潜在途径。