Zeta-regularization and natural boundaries: Sums and products of integers and primes

技术摘要：Zeta 正则化与自然边界

问题陈述
本文探讨了如何为涉及整数和素数的发散无穷乘积与求和分配有限的、正则化的值这一挑战。尽管欧拉成功地通过黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta(s)$ 对所有自然数的乘积（$P = \sqrt{2\pi}$）以及整数幂的和进行了正则化，但将这些方法扩展到所有自然素数的乘积（$\Pi$）时遇到了根本性的障碍。素数 $\zeta$ 函数 $P(s) = \sum p^{-s}$ 在虚轴处存在一个自然边界，导致其在原点（$s=0$）的邻域内是非解析的。因此，依赖于评估导数 $P'(0)$ 的标准 $\zeta$ 正则化技术在处理素数乘积时失效了。此外，本文还处理了更为困难的问题，即正则化所有素数的和 $P(-1)$，这需要评估位于该自然边界有限距离之外的一点（$s=-1$）处的函数。最后，作者试图将这些结果推广到九个整数可以唯一分解为素数的虚二次域中。

方法论
作者结合了解析延拓、莫比乌斯反演以及改编自 Muñoz García 和 Pérez-Marco 研究工作的启发式正则化方案。

1. 处理自然边界： 对于素数乘积，作者利用 Artin-Hasse 恒等式，通过关系式 $P(s) = \sum_{n \ge 1} \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns)$ 将素数 $\zeta$ 函数 $P(s)$ 用黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta(s)$ 表示出来。这使得通过使用涉及莫比乌斯函数 $\mu(n)$ 的求和来正则化进行评估 $P'(0)$ 成为可能，其中使用了恒等式 $\sum \mu(n)n^{-s} = 1/\zeta(s)$。
2. 素数之和： 为了计算素数之和 $P(-1)$，作者分析了 $P(-1+\epsilon)$ 在自然边界附近的级数展开。通过分离莫比乌斯和中的奇项和偶项，并利用黎曼 $\zeta$ 函数的泛函方程（反射公式），他们分离出了发散的对数项。这些发散项通过使用涉及 $\mu(n)$ 的已知狄利克雷级数进行正则化，从而留下一个收敛级数，并得出最终的有限值。
3. 向二次域的扩展： 该方法被扩展到具有类数为 1（Heegner 数）的九个虚二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$。作者通过分析自然素数在整数环（高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$、艾森斯坦整数 $\mathbb{Z}[\omega]$ 等）中的分裂、惰性和分歧行为，推导出了这些域的素数 $\zeta$ 函数 $P_\Delta(s)$。正则化乘积是通过将素数 $\zeta$ 函数的导数与 Dedekind $\zeta$ 函数 $\zeta_\Delta(s)$ 在 $s=0$ 处的导数联系起来来确定的。

核心贡献与结果

• 正则化素数之和： 本文为所有自然素数的和提供了一个启发式推导，此前由于自然边界的存在，该值被认为是不可能获取的。其结果为：
  $$\sum_{p} p = P(-1) = \frac{5}{2} + \sum_{n \ge 1} \frac{\mu(n)}{n} \log \left( \frac{n! (e/n)^n \zeta(n+1)}{\sqrt{2\pi n}} \right) \approx 2.925292456\dots$$
  非平凡的正则化产生了有理部分 $5/2$，而剩余的级数是收敛的。

• 幂律关系： 作者在这些数域中建立了正则化所有整数的乘积（$P_\Delta$）与正则化所有素数的乘积（$\Pi_\Delta$）之间的普适幂律关系。该关系由下式给出：
  $$|\Pi_\Delta| = |P_\Delta|^{2w_\Delta}$$
  其中 $w_\Delta$ 是整数环中的单位数量。

  • 对于自然整数 ($\mathbb{Z}$): $w=2$（单位 $\pm 1$），得出 $\Pi = P^4$。
  • 对于艾森斯坦整数 ($\mathbb{Z}[\omega]$): $w=6$，得出 $|\Pi_3| = |P_3|^{12}$。
  • 对于高斯整数 ($\mathbb{Z}[i]$): $w=4$，得出 $|\Pi_4| = |P_4|^8$。
  • 对于其他七个虚二次域: $w=2$，得出 $|\Pi_\Delta| = |P_\Delta|^4$。

• 显式数值： 本文计算了所有九个虚二次域中整数正则化乘积的显式数值和闭合形式表达式（涉及 Gamma 函数和 Chowla-Selberg Gamma 比率）。例如，$|P_3|^2 = \frac{2\pi}{3} \frac{\Gamma(1/3)^3}{\Gamma(2/3)^3}$ 以及 $|P_4|^2 = \frac{\pi}{2} \frac{\Gamma(1/4)^2}{\Gamma(3/4)^2}$。

意义与范围
本文声称，这些推导将 $\zeta$ 正则化技术的使用范围扩展到了相关的 $\zeta$ 函数具有自然边界的情况，这种情况在各种物理背景中十分常见，如特定势能下的量子力学、统计力学和规范理论。作者指出，虽然关于素数乘积公式 (1.2) 的推导是最近的突破，但关于素数和 (1.6) 的计算代表了这些技术向“自然边界之外”的全新扩展。

本文主要是在数论语境下呈现的。作者明确指出，这种方法的研究兴趣延伸到了物理学，因为“在多种物理情境中，由于相关的 $\zeta$ 函数具有自然边界，$\zeta$ 正则化技术确实无法适用”。然而，本文并未提出具体的新的物理实验，也没有声称这些特定的数论结果解决了现有的物理问题；相反，它提供了可能适用于此类问题的数学工具和类比。文章最后指出，该普适公式 (1.10) 对于更一般的代数数域（特别是实二次域）的有效性仍是一个开放性问题。