Entanglement Entropy of Free Fermions on Random Fractal Lattices

技术摘要：随机分形晶格上自由费米子的纠缠熵

问题陈述
量子纠缠是多体物理和量子技术中的一种基本资源。虽然欧几里得系统中纠缠熵（EE）的标度规律已得到充分理解——对于能隙系统遵循面积律（$S \sim L^{d-1}$），而对于由于费米面存在的无能隙自由费米子，则遵循对数增强的面积律（$S \sim L^{d-1} \log L$）——但在几何无序、非整数维度的系统中，EE 的行为在很大程度上仍未被探索。具体而言，目前尚不清楚缺乏平移对称性以及存在分形几何特征如何影响基态纠缠结构，以及在淬火后的量子信息动力学传播过程。本研究调查了随机分力晶格（RFLs）上的自由费米子，旨在确定仅靠几何随机性是否足以产生非平凡的纠缠标度以及不同于无序诱导定位的缓慢动力学过程。

研究方法
作者利用基于介电击穿模型的随机生长算法生成了 RFLs。从一个种子开始，通过将新位点添加到簇中，其概率 $P(i \to j) \propto (\phi_j)^\eta$，其中 $\phi$ 是满足底层欧几里得网格上离散拉普拉斯方程的局部势能。这一过程产生了一个单一的、连通的、无环的图。

为了独立调节这些晶格的几何与输运性质，作者引入了一个参数 $p$，代表添加“缺失”的最近邻键的概率。这使得以下各项可以被独立变化：

• 豪斯多夫维度 ($d_H$)： 表征几何质量和体积标度（$V(r) \sim r^{d_H}$）。
• 谱维度 ($d_s$)： 通过无偏经典随机行走表征扩散与连通性（$\Omega(t) \sim t^{d_s/2}$）。

在这些晶格上，作者研究了由跳跃振幅为 $J$ 的紧束缚哈密顿量描述的非相互作用无自旋费米子。他们分析了两种机制：

1. 基态： 计算由图半径 $r$ 定义的二分纠缠熵，该熵是通过由受限单体相关矩阵导出的冯·诺依曼熵计算得出的。
2. 动力学演化： 从一个无关联的棋盘式乘积态开始进行全局量子淬火。通过监测随时间变化的纠缠熵 $S(r, t)$ 来研究纠缠的传播。

数值模拟在具有 $N=5000$ 个位点的晶格上进行，并对约 100 个独立的实现进行平均，以抑制样本间的波动。

核心结果

• 基态纠缠：

  • 经过无序平均后的 EE 表现出稳健的幂律标度 $S(r) \propto r^\alpha$。
  • 在远离半填充状态时，指数始终为 $\alpha \approx d_H - 1$。这表明纠缠熵受豪斯多夫维度支配的广义面积律。
  • 至关重要的是，欧几里得自由费米子所特有的对数增强特性（$S \sim L^{d-1} \log L$）不存在。作者将其归因于在缺乏平移对称性的分形晶格上，不存在定义明确且延伸的费米面。
  • 在接近半填充状态时，标度变得异常，表现出对连通性和谱性质更强的依赖性，这可能是由于能带中心处存在高度的谱简并性。

• 纠缠动力学（淬火后）：

  • 纠缠增长遵循因子化标度形式：$S(r, t) \propto a(r; d_H) s(t; d_s)$。
  • 空间标度： 子系统尺寸的依赖性受豪斯多夫维度控制，遵循分形面积律 $a(r) \sim r^{d_H-1}$。
  • 时间标度： 时间演化由谱维度支配。在中间时间阶段（在微观短时效应之后，但在有限尺寸饱和之前），增长是对数级缓慢的，$s(t) \sim [\log(t)]^\gamma$。
  • 动力学指数 $\gamma$ 非线性地依赖于谱维度 $d_s$，但基本上与 $d_H$ 无关。
  • 不同于显示弹道线性增长（$S \sim t$）的洁净欧几里得系统或快速饱和的安德森定域系统，这些分形系统在没有位点无序或相互作用的情况下表现出缓慢的动力学。

意义与主张
本文确立了仅靠几何随机性（在没有位点无序或相互作用的情况下）就足以产生：

1. 非平凡的基态结构： 由豪斯多夫维度决定的广义面积律，且不存在欧几里得无能隙系统中观察到的对数增强现象。
2. 缓慢的量子信息传播： 在淬火后，纠缠增长呈对数级缓慢，这完全是由分形几何固有的层次化连通性和反常扩散驱动的。

结果表明，这两个分形维度之间存在明确的角色分离：豪斯多夫维度决定了纠缠的空间范围（即用于关联的“边界”），而谱维度则控制着激发探索图谱的时间效率。这提供了一种独特的缓慢动力学机制，与多体定位或费米面物理相区别，并将随机分力晶格定位为探索非欧几里得量子现象的一个极具前景的领域。