Lepton mixing from the $\Delta(96)$ Modular Littlest Seesaw

技术摘要：基于 $\Delta(96)$ 模不变最小型 Seesaw 机制的轻子混合

问题陈述
中微子质量的起源以及特定的轻子味混合模式仍然是超越标准模型物理中的核心挑战。虽然基于两个右手中微子的第二类 I 型 Seesaw 机制（即“最小型 Seesaw”，Littlest Seesaw）提供了一个具有预测性的框架，但传统的实现方式通常依赖于离散味对称性（例如 $S_4, A_5$），这需要大量的胀子（flavon）场和辅助对称性来获得特定的真空对齐。模不变对称性（Modular symmetry）提供了一种替代方案，其中味结构由模场 $\tau$ 的真空期望值（VEV）产生，从而消除了对胀子的需求。然而，现有的模不变最小型 Seesaw 模型主要基于较小的有限模群（如 $S_4$ 和 $A_5$）。尽管 $\Delta(96)$ 拥有 $A_4, S_4$ 和 $A_5$ 所不具备的复杂三重态（triplet）和六重态（sextet）表示，但针对基于较大的有限模群 $\Delta(96)$ 的此类模型的系统性、模型无关的研究仍然缺乏。

研究方法
作者对基于 $\Delta(96)$ 有限模群的模不变最小型 Seesaw 模型进行了全面的、模型无关的研究。研究方法分为以下几个阶段：

1. 构造矢量值模形式（VVMFs）： 作者为 $\Delta(96)$ 的所有不可约表示构造了完整的 VVMF 集合。他们利用模线性微分方程（MLDE）和超几何函数，推导出了最低权重和次低权重三重态 VVMF 的显式表达式。
2. 不动点分类： 研究识别了模群 $\Delta(96)$ 在上半平面中所有不等价的不动点。通过分析生成元 $S$ 和 $T$ 的稳定子子群，他们对 92 个不等价的不动点代表进行了分类（其中 48 个来自 $\tau_S=i$，32 个来自 $\tau_{ST}=\omega$，以及 12 个来自 $\tau_T=i\infty$）。
3. 真空对齐推导： 作者计算了三重态 VVMF 在这些不动点处的真空对齐。他们证明了这些对齐是由不动点处保留的残余对称性决定的，形成了一组由模协变性固定的有限代数方向。
4. 模型构建与扫描： 在模不变最小型 Seesaw 框架内，三个左手轻子双重态被分配到 $\Delta(96)$ 的三重态表示中，而两个右手中微子（$N_{atm}^c$ 和 $N_{sol}^c$）为单重态。该模型假设存在三个独立的模（$\tau_\ell, \tau_{atm}, \tau_{sol}$），并稳定在不同的不动点处。作者对以下内容的分配进行了详尽扫描：
   • 左手轻子双重态的表示（$3_0, \bar{3}_0, \hat{3}_0$）。
   • 带电轻子、大气中微子和太阳中微子部门的残余对称性。
   • 在不动点处求值的模形式 $Y_{atm}$ 和 $Y_{sol}$（最低和次低权重三重态）。
5. 数值分析： 对于所有 89,662 种独立的破缺模式，作者针对 NuFIT 6.1 全球拟合数据（包括 Super-Kamiokande 大气数据）最小化全局 $\chi^2$ 函数。这些模型受三个实参数约束：总质量标度 $m_a$、比例 $r$ 以及相对相位 $\eta$。

主要贡献与结果

• 首次对 $\Delta(96)$ 模模型的全面研究： 本工作呈现了对基于 $\Delta(96)$ 的模不变最小型 Seesaw 模型的首次系统性调查，构造了必要的 VVMF，并对所有不等价的不动点及其相关的真空对齐进行了分类。
• 确定了 35 种可行模式： 扫描得到了 35 种在当前中微子振荡数据 $3\sigma$ 范围内与实验一致的、具有现象学意义的可行且不等价的对称性破缺模式。其中包括 21 种正序（NO）模式和 14 种反序（IO）模式。
• 超越 CSD(n) 范式： 生成的狄拉克中微子质量矩阵展现出了比传统约束序列主导（CSD(n)）框架更通用的结构。虽然 8 种可行的 NO 模式重现了著名的 TM1 混合（与 CSD(n) 相关），但其余模式（以及所有 IO 模式）产生了 PMNS 矩阵的新固定列。这些新模式导致了超越 TM1 范式的、关于轻子混合参数的新求和规则和相关性。
• 代数刚性与预测性： 一个关键发现是，真空对齐是由模协变性在特定的代数方向上固定的，而非仅由残余对称性约束的连续参数。这种“代数刚性”显著增强了模型的预测能力。
• 现象学预测：
  • 正序（NO）情况： 21 种可行的 NO 模式预测了混合角和 CP 相位的窄范围。值得注意的是，8 种模式产生 TM1 混合，而其他模式则提供不同的预测。有效迈约罗纳质量 $m_{ee}$ 预测在 $[2, 4]$ meV 之间，远低于当前及近期中微子双倍 beta 衰变（$0\nu\beta\beta$）实验的灵敏度。
  • 反序（IO）情况： 14 种可行的 IO 模式预测的 $m_{ee}$ 值处于即将到来的 $0\nu\beta\beta$ 搜索的灵敏度范围内。
  • 可检验性： 文中强调了未来实验（JUNO, DUNE, T2HK）将提供严格测试。具体而言，JUNO 有望显著约束 $\sin^2\theta_{12}$，这可能排除 NO 情况下的所有 TM1 模式。DUNE 和 T2HK 将测试 $\sin^2\theta_{23}$ 和 $\delta_{CP}$，许多可行的模式预测的值位于这些实验预计的 $3\sigma$ 灵敏度区域之外，使其具有高度的可检验性。

意义
该论文声称，这项工作确立了 $\Delta(96)$ 作为一种可行且丰富的有限模不变味对称性候选者，提供了较小模群所不具备的模型构建可能性。研究表明，将模不变对称性与最小型 Seesaw 机制相结合，可以产生高度具有预测性的模型，其味结构由模空间（不动点）的几何结构决定，而非由随意的胀子势能决定。通过识别 35 种可行模式（其中许多偏离了既有的 CSD(n) 和 TM1 范式），为即将到来的高精度中微子实验提供了一系列多样化的目标。作者强调，不动点对齐的代数性质使得这些模型区别于传统的残余对称性或三直接 CP 方法，提供了一个更受约束且可检验的轻子味物理框架。