Lower Bounds on Spectral Gaps of Parent Hamiltonians via Tensor Networks

技术摘要：通过张量网络获取父哈密顿量的谱隙下界

问题陈述
能谱隙的存在——即基态流形与第一激发态之间的一个一致的下界，且该下界与系统尺寸无关——是量子多体物理中的一个基本性质。它决定了关联函数的指数衰减、拓扑序的稳定性以及准绝热演化的可行性。然而，对于相互作用哈密顿量，严格证明能谱隙的存在，尤其是获得显式的定量下界，是极其困难的。虽然存在一些方法，如有限尺寸判据（Knabe, Gosset-Mozgunov）和鞅方法（Fannes, Nachtergaele, Werner - FNW），但这些方法往往产生的界限较弱，或者在某些机制下无法提供界限。具体而言，FNW 方法虽然证明了矩阵乘积态（MPS）父哈密顿量的能谱隙，但其依赖于估计局部基态空间的重叠，这种方式会导致次优的定量界限。

方法论
作者重新审视并改进了鞅方法，旨在创建一个用于计算强、严格能谱隙下界的工具。该方法由两个主要步骤组成：

1. 哈密顿量分块与重组（Hamiltonian Blocking and Reshuffling）：
   原始的平移不变哈密顿量 $H_N$ 通过将位点组合成大小为 $p$ 和 $q$ 的超位点，被转化为“分块”哈密顿量 $\tilde{H}_M$。原始哈密顿量的项通过特定的权重 ($\lambda_\omega$) 被重新分配，以形成作用在大小为 $2p+q$ 的重叠块上的新局部项 $\tilde{h}_{\tilde{\imath}}$。

   • 作者引入了精细的分块方案（引理 1 和引理 2），允许交替的块大小和优化的权重。
   • 这一步将原始系统的能隙与分块系统的能隙联系起来，即 $\Delta(H_N) \geq \Delta(\tilde{H}_M)$，同时确保分块系统仍然是无挫折的（frustration-free），且其基态空间由相同的 MPS 参数化。

2. 通过张量网络进行局部能隙估计：
   分块哈密顿量的能隙通过一个涉及相邻项基态空间相对对齐的局部条件来界定。该条件取决于参数 $\gamma_{p,q}$，由以下不等式定义：
   $$QR + RQ + \gamma_{p,q}(Q + R) \geq 0$$
   其中 $Q$ 和 $R$ 是相邻块基态空间的正交补上的投影算符。

   • 核心创新： 作者开发了一种技术（定理 4）来精确且高效地计算最优的 $\gamma_{p,q}$。该方法不再是在随块大小呈指数增长的希尔伯特空间上进行算符对角化，而是将问题映射为寻找一个固定维度为 $D^4$ 的矩阵 $\Xi$ 的第二大特征值求解问题（其中 $D$ 是 MPS 的键维）。
   • 矩阵 $\Xi$ 是由 MPS 张量的转移矩阵构造而成的，具体涉及诸如 $T_p$、$T_{p+q}$ 以及伪逆 $T_{2p+q}^{-1}$ 等项。
   • 最终的下界由 $\Delta(H_N) \geq (1 - 2\gamma_{p,q})\Delta(\tilde{h}_{\tilde{\imath}})$ 给出。

主要贡献

• 精确且高效的重叠计算： 本文提供了一种方法，可以精确计算鞅方法中的关键量（即局部基态空间的重叠）。这是通过将问题简化为在固定维度 $D^4$ 空间上的特征值问题来实现的，其规模随块大小线性缩放，随键维多项式缩放。这与以往要么提供松散界限、要么需要指数级资源的方案形成了对比。
• 精细的分块方案： 作者推广了分块过程，使其包含交替块大小（$p$ 和 $q$）及优化权重，从而提供了更强的控制力以收紧界限。
• 统一的能隙证明： 该方法为任何“良态”（normal 或 block-normal）MPS 的父哈密顿量提供了显著简化的统一证明。由于相关的算符 $\Xi$ 存在于一个固定的有限维空间中，因此可以严格分析随着块大小增加，该界限向非零值收敛的过程。
• 对简并基态的适用性： 该框架自然地扩展到 block-normal MPS，能够处理具有简并基态空间的哈密顿量（例如拓扑相或对称性破缺相），且无需修改。

结果
该方法在多个模型上与原始 FNW 方法、Nachtergaele 的鞅方法以及有限尺寸判据（Knabe, Gosset-Mozgunov）进行了基准测试：

• AKLT 模型： 对于开边界条件（OBC）和周期边界条件（PBC），该方法比 FNW 方法产生了显著更紧的下界。对于 PBC，获得的界限为 $\Delta \geq 0.2827$；对于 OBC，则为 $\Delta \geq 0.2497$。虽然在极大的块大小时，有限尺寸判据在 AKLT 模型上表现优于该方法，但在较小的计算成本下，张量网络方法提供了更优的界限，并在其他方法无法返回任何界限的机制中取得了成功。
• $Z_3$-XY 模型： 在 Knabe 判据无法检测到能隙的参数机制中（特别是对于较小的变形参数 $t$），该方法提供了定量界限。在广泛的参数范围内，它优于标准的鞅方法和 Knabe 判据。
• SU(3) 价键固体（Valence Bond Solids）： 该方法被应用于 SU(3) 对称模型，证明了这些模型具有能隙，并提供了显式的下界。

意义
本文声称其受数值驱动的方法实现了两个主要目标：

1. 定量提升： 与现有的针对 MPS 父哈密顿量的技术相比，它提供了实质上更强的能谱隙下界，在特定机制下甚至优于有限尺寸判据。
2. 概念简化： 它为 normal 和 block-normal MPS 的父哈密顿量的能隙性质提供了一个精简且严谨的证明。通过将能隙分析简化为固定维度的特征值问题，该证明避免了以往论证中的复杂性，并能统一适用于唯一基态和简并基态。

作者强调，该方法是自洽的，适用于任何基态空间可由 MPS 参数化的通用无挫折哈密顿量，使其成为分析量子多体系统中能谱隙的通用工具。