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Quantum codes from classical annealing

本文介绍了一种自适应模拟退火算法，该算法成功发现了具有高编码率和大距离的最先进 CSS 码和“具有等效逻辑的自对偶”（SWEL）量子纠错码，为容错架构和近期硬件演示都提供了极具前景的候选方案。

原作者： Michael A. Perlin, Matthew Steinberg, Ben Criger

发布于 2026-07-23

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原作者： Michael A. Perlin, Matthew Steinberg, Ben Criger

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，你正试图建造一座能够抵御飓风的图书馆。在量子计算的世界里，这座“图书馆”是被称为量子比特（qubits）的脆弱信息集合。与你书架上坚固的书籍不同，量子比特就像肥皂泡一样；热量、噪声或随机电磁波的轻微触碰都可能让它们破裂，从而摧毁其中的数据。为了阻止这种情况，科学家们使用了一种被称为**量子纠错（Quantum Error Correction）**的技巧。他们不是把故事写在一个脆弱的泡泡上，而是将故事分散在许多泡泡构成的特殊模式中。如果其中一个泡泡破裂了，这种模式能让你从剩余的泡泡中重构出整个故事。

然而，这里有一个限制：你用来保护故事的泡泡越多，同时能讲述的故事就越少。这就是可靠性（代码对错误的保护能力）与效率（你能存储多少有用信息）之间的权衡。科学家们一直在寻找“神奇代码”——即那些能兼顾两者的完美模式：高保护能力且不浪费太多泡泡。这篇论文深入探讨了这场搜寻，利用一种巧妙的计算机搜索方法，寻找新的、高效的模式，以帮助构建未来的量子计算机。

伟大的代码搜寻：寻找完美的护盾

将设计量子纠错码想象成尝试为保险箱寻找一把完美的锁。你想要一把极难被破解的锁（高距离，意味着它能承受多次错误），但又要足够轻便易于携带（高编码率，意味着它不会浪费太多空间）。长期以来，基于数学理论，科学家们一直知道这样的锁是应该存在的，但实际寻找它们的具体蓝图，却如同在银河系规模的草堆中寻找一根针。

本文作者——来自摩根大通（JPMorgan Chase）和 Quantinuum 的研究人员——决定不再用手去寻找这根针，而是为他们建造了一个机器人搜索引擎。他们使用了一种名为**模拟退火（simulated annealing）**的技术。要理解这一点，想象你正在试图寻找一个广袤、多雾的山脉中的最低点。如果你只是单纯地向下坡走，你可能会困在一个小山谷里，并误以为已经到达了底部。但如果你偶尔会向上跳跃（模拟加热），你就能逃离这些小山谷，继续搜索，直到找到那个最深、最完美的谷底。在这种情况下，“山谷”就是优秀的量子代码，而“高度”则是代码能处理错误的程度。

团队专注于两种特定类型的代码，他们称之为 CSS 代码 和 SWEL 代码。

CSS 代码 就像是一个双层护盾。它们使用一种模式来捕捉“X 型”错误（翻转），并使用另一种模式来捕捉“Z 型”错误（相位偏移）。它们很受欢迎，因为它们相对容易操作。
SWEL 代码（具有等效逻辑的自对偶码）是 CSS 代码的一种特殊、高级版本。它们是“自对偶”的，这意味着 X 层和 Z 层是彼此的镜像。这种对称性是一种超能力：它允许通过同时对所有物理量子比特应用相同的动作，来简单地执行某些量子操作（门）。这使得它们在真实的容错量子计算机中更容易使用。

研究人员将他们的搜索引擎投入到拥有最多 50 个物理量子比特（泡泡）且至少有 4 个逻辑量子比特（实际讲述的故事）的代码搜索中。他们不仅仅是在寻找任何代码；他们在寻找能够击败理论上的“吉尔伯特-沃什曼界限（Gilbert-Varshamov bound）”的代码。你可以把这个界限想象成量子编码高速公路上的限速标志。它告诉你，对于给定数量的量子比特，你应该能达到的最快速度（最佳距离）。作者的搜索发现，有些代码经常达到甚至超过了这个速度限制，这意味着他们发现的护盾比标准数学预测的可能水平还要好。

他们方法中最聪明的部分之一是衡量“优劣”的方式。通常，你只需计算一个代码可以修复多少个错误。但研究人员意识到，两个代码可能修复相同数量的错误，但其中一个在现实场景中可能更容易失败，因为它拥有更多的“薄弱点”。为了解决这个问题，他们创建了一个自定义的“能量函数”，它像一个超灵敏的探测器。它不仅计算错误数量，还计算代码在最薄弱点发生失效的方式数量。这有助于他们的搜索引擎避免陷入“平坦高原”——在那里许多代码看起来都一样——从而引导其走向真正卓越的设计。

在运行模拟后，团队列出了他们发现的最佳代码清单，这些细节详见论文附录。这些不仅仅是理论上的思考；它们是具体的蓝图。例如，他们发现了一个使用 20 个物理量子比特 来存储 6 个逻辑量子比特 且距离为 4 的代码，以及另一个使用 50 个物理量子比特 来存储 6 个逻辑量子比特 且距离为 8 的代码。其中许多代码的“最小权重逻辑算符”（薄弱点）比之前的记录更少，使其更加稳健。

论文还强调，这些代码对于“近期”量子硬件特别有前景。虽然庞大且完美的量子计算机仍需数年时间才能实现，但今天的机器规模较小且噪声较大。这些新代码提供了一种方法，可以从这些小型、不完美的机器中榨取更多有用的工作。此外，由于 SWEL 代码允许特殊的“横截门”（不需要复杂布线的操作），它们可能是构建容错门集的关键，而这对于在计算机崩溃前运行复杂算法至关重要。

简而言之，这篇论文并不声称已经解决了量子纠错的全部奥秘。相反，它提供了一张强大的新地图和一套高质量的工具。通过使用自适应搜索算法，作者发现了一系列“种子代码”，这些代码已准备好用于未来的量子架构。他们表明，即使在当前硬件受限的情况下，我们也能找到高效且稳健的方法来保护量子信息，让我们离量子计算机能够解决当今超级计算机无法处理的问题的目标又近了一步。

技术摘要：基于经典退火算法的量子码搜索

问题陈述

量子纠错（QEC）对于大规模容错（FT）量子计算至关重要。然而，已知的代码族往往会带来难以承受的资源开销。拓扑码（如表面码）受限于 Bravyi-Poulin-Terhal 界限，限制了其编码速率。量子低密度奇偶校验（qLDPC）码提供了优异的渐近参数，但需要长程相互作用和复杂的解码过程，这使得它们在当前的近期待测硬件上难以实现。虽然代码级联提供了一条实现常数时空开销的路径，但它依赖于高质量的“种子”码，这些种子码需具备高编码速率和较大的距离。

通过暴力搜索寻找此类代码通常是不可行的，因为稳定子码的空间随块长度 $n$ 指数级增长，且计算代码距离是一个 NP-hard 问题。因此，需要高效的数值方法来发现中等规模（ $n \le 50$ ）的量子稳定子码，使其编码速率（ $k/n$ ）和距离（ $d$ ）能够达到或超过理论界限，特别是针对那些能够支持长程相互作用的架构（如离子阱或中性原子）。

方法论

作者引入了一种自适应模拟退火算法，用于在两类特定的代码类别中搜索最优量子码：

CSS 码： Calderbank-Shor-Steane 码，其允许实现相对简单的容错状态准备和解码。
SWEL 码： CSS 码的一个子类，被称为“具有等效逻辑算符的自对偶码”（Self-Dual with Equivalent Logicals）。这些代码满足特定的对称条件（ $H_X = H_Z$ 且逻辑算符 $L_X = L_Z$ ），保证了横向实现逻辑 Hadamard ( $H^{\otimes k}$ ) 和相位 ( $S^{\otimes k}$ ) 门的可能性，从而促进了容错门集的构建。

搜索空间与移动方式

初始化： 算法并非从平凡码开始，而是通过对一个平凡码应用随机的 CSS 保守或 SWEL 保守门来进行“热启动”。
- 对于 CSS 码，搜索空间通过一般线性群 $GL(n, \mathbb{F}_2)$ 进行采样。
- 对于 SWEL 码，搜索空间通过正交群 $O(n, \mathbb{F}_2)$ 进行采样。
提议分布（移动）：
- CSS： 通过在两对量子比特之间应用随机 CNOT 门来生成移动。定理 1 证明了 CNOT 门可以将任何 CSS 码转换为具有相同秩参数的任何其他 CSS 码。
- SWEL： 通过应用作用于四个量子比特的“基本 SWEL 保守门”来生成移动。定理 5 证明了这些门结合置换操作可以遍历整个 SWEL 码空间。

能量函数

为了避免由于代码距离在局部变化时保持不变而导致的“贫瘠高原”（barren plateaux）现象，作者定义了一个能量函数 $E(C)$ ，作为代码容量噪声模型下逻辑错误率的代理。
$E(C) = \frac{\log m}{\log(1/p)} - d$
其中 $d$ 是代码距离， $m$ 是最小权重非平凡逻辑算符的数量， $p$ 是物理错误率（设定为 $10^{-3}$ ）。该函数惩罚具有更高距离（更低能量）的码，并且至上重要的是，通过偏好具有更少最小权重逻辑算符（ $m$ ）的码来打破相等距离下的平局。

自适应退火

算法采用自适应温度调度方案，以防止系统在高原或退化局部极小值处冻结。温度在每个纪元（epoch）根据观察到的提议移动的能量差异进行调整，目标是维持特定的上升接受率。同时使用记忆因子来抑制温度波动。

后处理

在通过退火找到代码后，应用贪婪算法来降低稳定子生成子的权重。这一步在不改变代码距离或逻辑算符的前提下，最小化了校验子测量的复杂度。

核心贡献

算法框架： 开发了一种专门用于搜索 CSS 和 SWEL 量子码的自适应模拟退火算法，利用群论特性确保搜索空间被完全覆盖。
SWEL 特征化： 提供了一个严谨的理论框架（定理 3 和定理 4）来定义 SWEL 码，并证明了 SWEL 保守门集（同构于 $O(n, \mathbb{F}_2)$ ）足以从平凡种子生成所有 SWEL 码。
能量代理： 提出了一个结合了代码距离与最小权重逻辑算符计数的能量函数，有效地解决了阻碍朴素距离优化的离散高原问题。
发现最先进的代码： 识别出了大量在块长度达 $n \le 50$ 时性能优于 qecdb.org 上已知代码的新型代码。

结果

作者展示了一个发现的代码综合表（附录 F），其参数为 $[n, k, d]$ ，其中 $n \le 50$ 且 $k \ge 4$ 。

性能： 许多发现的 CSS 和 SWEL 码实现的距离达到了或超过了量子 Gilbert-Varshamov (QGV) 界限（ $d_{QGV}$ ）以及 CSS 特定的 Gilbert-Varshamov 界限（ $d_{CSS}$ ）。
对比： 将结果与 qecdb.org 上的最佳已知代码进行了比较。在许多情况下，新发现的代码在相同的 $n$ 和 $k$ 下提供了更高的距离，或者在相同的 $n$ 和 $d$ 下提供了更高的 $k$ 。
逻辑错误率： 通过使用重要性采样的蒙特卡洛模拟，作者估计了这些代码的逻辑错误率。结果验证了能量函数成功识别出了具有更低逻辑错误率的代码，特别是在距离 $d > 4$ 的情况下。
SWEL 特性： 发现的 SWEL 码具有实现横向逻辑 Clifford 门的必要结构。例如， $[20, 6, 4]$ SWEL 码被发现至少拥有 2,304 个 SWAP-横向逻辑 Clifford 门。

意义与主张

论文声称，这些经过数值优化的代码可作为基于代码级联的容错架构的优选种子码。通过提供中等块尺寸的高速率、高距离代码，它们可以用于构建更大规模的逻辑量子比特，从而减少开销。

此外，作者强调了这些代码对于近期硬件演示的潜力。具体而言，他们指出，支持长程相互作用的离子阱和中性原子平台非常适合实现这些代码。SWEL 码尤其重要，因为它们的横向门集允许在无需复杂的魔术态蒸馏进行 Clifford 操作的情况下，构建容错逻辑门集。

作者对该搜索算法的即时可扩展性保持谨慎，指出计算距离的指数级运行时间将搜索限制在 $n \le 50$ 。他们建议未来的工作可以包括并行化能量函数评估、改进退火调度，或引入机器学习技术以将搜索扩展到更大的块长度。他们还提出，使用这些种子（例如，将 $[8, 6, 2]$ Iceberg 码与 $[38, 12, 6]$ 码结合）进行代码级联，可以产生适用于商业规模量子计算的实用架构。