Topology in One Point Interaction Problem on Extended Non-Local Star Graphs and its Eigenvalues

技术摘要：扩展非局部星形图上单点相互作用问题的拓扑结构及其特征值

问题陈述
本文研究了定义在星形度量图上的 Sturm-Liouville 算子的逆谱问题。具体模型涉及一个中心顶点 $v_0$，该顶点连接着 $m$ 条已知长度 $l_j$ 的边（$e_j$）。该系统由具有复值非局部势函数 $q_j(x)$ 以及在中心顶点处满足“冻结参数”条件的微分方程控制，该条件代表了一种单点相互作用。边界条件包括外顶点处的 Dirichlet 条件、中心顶点的连续性条件，以及涉及势函数积分项的广义非局部 Kirchhoff 定律。

研究的一个核心目标是利用非局部谱数据恢复网络的拓扑信息。为了便于分析，作者通过连接星形图各边外端点，构建了一个“扩展闭图” $\bar{T}$，该图形成了一个具有新边 $\bar{e}_j$ 且长度为 $\bar{l}_j$ 的循环度量图。本研究旨在确定该扩展系统的扩展边长度及势函数的唯一性。

方法论
分析过程通过构造特殊解并推导特征函数 $\Phi(z)$ 进行，其中 $\Phi(z)$ 的零点对应于系统的特征值。

1. 特殊解的构造： 作者修改了 Nizhnik 的构造方法，在原始边上定义特殊解 $\phi_j(x; z)$，并在扩展边上定义 $\bar{\phi}_j(x; z)$。这些解旨在满足中心顶点的连续性条件和外顶点的 Dirichlet 条件。
2. 傅里叶分析： 将非局部势函数 $q_j(x)$ 展开为傅里叶正弦级数。利用这些级数的系数来表示解及其导数。
3. 特征函数推导： 通过对顶点处的通量（导数）求和，并结合非局部边界条件（即广义 Kirchhoff 定律），作者推导出了特征函数 $\Phi(z)$。该函数是一个有限型的整函数，其零集定义了问题的谱。
4. 复分析与密度论证： 本文采用了整函数理论中的工具：
   • Titchmarsh 引理： 用于将零点的计数函数与支撑集的凸包联系起来。
   • Cartwright 定理： 用于建立如果傅里叶变换在整数上消失，则底层函数是平凡的这一关系。
   • 零点密度： 计算了乘积和求和形式下整函数的零点密度 ($\delta$)，以便比较两个不同图的谱数据。

主要贡献与结果

• 存在性与适定性： 本文确立了该微分系统是适定的。证明了在假设边长 $\{l_j, \bar{l}_j\}$ 满足有理无关性的条件下，特征值集合是非空的，且不完全包含在平凡正弦项的零点内（即存在非平凡的非局部特征值）。
• 扩展边长度的唯一性： 命题 3.11 表明，如果两个扩展星形图具有相同的势函数且其特征函数相同（在差一个常数的情况下），那么扩展边的长度 $\bar{l}_j$ 必须相等。作者明确指出，虽然这证明了扩展边长度的唯一性，但在没有进一步约束的情况下，它并不自动意味着原始图是共点的（即在所有几何方面都是一致的）。
• 势函数的唯一性： 定理 3.12 证明，如果两个系统（具有已知且有理无关的边长）的特征函数相同，那么每条边上的势函数 $q_j(x)$ 几乎处处相等。这是通过证明势函数的差异会导致傅里叶变换消失，从而意味着势函数为零来实现的。

意义与主张
作者声称该系统在“非常必要”的条件下是可解的，即边长的有理无关性和势函数的非平凡性。这项工作的核心意义在于：

1. 恢复网络几何结构： 它提供了一种从谱数据中恢复连接星形图端点的扩展边长度的方法。虽然论文旨在恢复角度信息，但其严谨的结果确立了扩展边长度的唯一性，这在特定的几何配置下与角度相关联。
2. 非局部建模： 它解决了具有非局部势函数和非局部边界条件（冻结参数）的算子的逆问题，这类条件用于模拟物理现象，如在中央控制中心监测的振动或通量。
3. 数学严谨性： 本文确立了此类特定扩展非局部星形图逆谱问题的唯一性，表明谱数据能够唯一确定势函数和扩展边的长度。

论文得出结论，该逆谱问题具有唯一且可解的表述，允许从非局部谱数据中重建势函数和扩展边的长度。