Possible Bound States in the $D^\ast\bar D^\ast$/$B^\ast\bar B^\ast$ and $D^\ast D^\ast$/$\bar B^\ast\bar B^\ast$ Systems within the Bethe-Salpeter Formalism

技术摘要：$D^*\bar{D}^*/B^*\bar{B}^*$ 与 $D^*D^*/\bar{B}^*\bar{B}^*$ 系统中可能的束缚态

问题陈述
本文旨在对重介子系统中可能的 S 波分子束缚态进行理论研究，特别关注隐重（hidden-heavy, $D^*\bar{D}^*$, $B^*\bar{B}^*$）和双重重（doubly-heavy, $D^*D^*$, $\bar{B}^*\bar{B}^*$）构型。尽管许多奇异强子候选者（如 $X(3872)$, $Z_c(3900)$, 和 $T_{cc}^+(3875)$）已在开重味阈值附近被观测到，但其内部结构——是紧凑的多夸克态还是强子分子——仍存在争议。重夸克自旋对称性（HQSS）表明，如果像 $X(3872)$ 这样的态是 $D\bar{D}^*$ 分子，那么相关的 $D^*\bar{D}^*$ 以及双重重矢量-矢量系统（$D^*D^*$ 或 $\bar{B}^*\bar{B}^*$）也应该存在。然而，这些特定矢量-矢量系统的存在性及其结合性质，特别是关于同位标量（isoscalar）与同位矢量（isovector）构型的区别以及短程动力学的角色，需要进行系统的评估。

方法论
作者采用 Bethe-Salpeter (BS) 形式体系，在阶梯近似（ladder approximation）和瞬时近似（instantaneous approximation）下求解束缚态。

• 相互作用核： 相互作用通过单玻色交换（OBE）模型进行建模，包括标量（$\sigma$）、伪标量（$\pi, \eta$）和矢量（$\rho, \omega$）介子交换。相互作用源自与重夸克对称性和手征对称性一致的有效拉格朗日量。
• 波函数： 利用适当的洛伦兹张量结构，为特定的量子数（对于隐重系统为 $J^{PC}$；对于双重重系统为 $I(J^P)$）构建协变 BS 波函数。
• 正则化： 为了考虑组成强子的有限尺寸并调节高动量行为，在每个顶点处引入了单极形式因子 $F(k^2) = (\Lambda^2 - m^2)/(\Lambda^2 - k^2)$。截断参数 $\Lambda$ 参数化为 $\Lambda = m + \alpha \Lambda_{\text{QCD}}$，其中 $\Lambda_{\text{QCD}} = 220$ MeV，$\alpha$ 是一个在 0.5 到 10 之间变化的唯象参数。
• 数值解： 通过对纵向动量的轮廓积分和方位角解析积分，将四维 BS 方程简化为一维积分方程。这些方程通过高斯求积法进行离散化，并作为矩阵特征值方程求解，以识别结合能（$E_b$）在 1–50 MeV 范围内的束缚态。

主要贡献与结果
本研究系统地绘制了不同同位旋和自旋-宇称通道的结合能（$E_b$）随截断参数 $\alpha$ 变化的映射图。

1. 隐重系统（$D^*\bar{D}^*$ 与 $B^*\bar{B}^*$）：

   • 同位标量通道： 对于所有三种 $J^{PC} = 0^{++}, 1^{+-}, 2^{++}$ 的同位标量构型，只要截断参数 $\alpha$ 足够大，即可获得束缚态解。
   • 同位矢量通道： 在所考虑的参数范围内，未发现同位矢量构型的束缚态解。
   • 底夸克对比粲夸克： 在给定的 $\alpha$ 下，底系统（$B^*\bar{B}^*$）比其对应的粲系统（$D^*\bar{D}^*$）表现出更强的结合能力。这归因于底系统较大的约化质量降低了动能贡献，从而有利于结合。

2. 双重重系统（$D^*D^*$ 与 $\bar{B}^*\bar{B}^*$）：

   • 对称性约束： 由于相同矢量介子的玻色对称性，允许的 S 波系统被限制在 $I(J^P) = 0(1^+), 1(0^+), 1(2^+)$。
   • 结合解： 在中等数值的 $\alpha$ 下，发现了 $I(J^P) = 0(1^+)$ 和 $1(2^+)$ 通道的束缚态。
   • $1(0^+)$ 情况： $I(J^P) = 1(0^+)$ 的解仅在 $\alpha$ 值显著较大时才能获得。作者指出，该解对约束较弱的短程相互作用高度敏感，应谨慎解释。
   • 底夸克对比粲夸克： 与隐重领域类似，$\bar{B}^*\bar{B}^*$ 系统需要比 $D^*D^*$ 系统更小的截断参数即可达到相同的结合能。

意义与主张
本文声称在 BS 框架下，对矢量-矢量重介子系统提供了系统的基于 OBE 的分析。其主要结论如下：

• 同位标量偏好： 在这些系统中，同位标量相互作用通常比同位矢量相互作用更具吸引力。同位标量 $1^+$ 通道被确定为双重重分子态最有希望的构型。
• 模型依赖性： 束缚态的存在性，特别是同位矢量通道或需要大 $\alpha$ 值的通道（如 $D^*D^*$ $1(0^+)$），强烈依赖于对短程动力学处理及调节器的选择。需要异常大截断值的解被标记为可能反映了未被显式包含在单玻色交换核中的动力学过程。
• 质量依赖性： 底系统较大的约化质量一致地促进了比粲系统更紧密的分子结合。

作者保持了审慎的态度，强调虽然其结果支持同位标量分子态，但定量预测高度依赖于唯象截断。他们总结道，若要明确建立这些分子候选者的存在性和性质，还需要进一步结合耦合通道效应、额外的短程相互作用以及实验或格点 QCD 数据进行研究。