Analysis of the $X(2370)$ as a glueball based on rigorous current-field duality

技术摘要：基于严格电流-场对偶性的 X(2370) 作为胶球的分析

问题陈述
由 BESIII 合作组在各种辐射性 $J/\psi$ 衰变（例如 $J/\psi \to \gamma \pi^+\pi^-\eta'$, $J/\psi \to \gamma K\bar{K}\eta'$）中观测到的 $X(2370)$ 共振态的本质仍存在争议。虽然其质量和量子数（$J^{PC} = 0^{-+}$）与标量胶球一致，但它也可能是一个常规介子（$\eta/\eta'$ 的第四个径向激发态）、六夸克态或四夸克态。以往使用手征有效拉格朗日量（例如文献 [34]）对该衰变进行建模的尝试未能解释胶球的内部结构，将相互作用视为与状态是由两个还是三个价胶子组成无关。因此，这些模型给出的分支比预测与实验数据不符。具体而言，文献 [34] 提取的 $J/\psi \to X(2370)\gamma$ 分支比比基于晶格 QCD 的分析大了一个数量级，且得到的如 $X(2370) \to \pi\pi\eta'$ 和 $K\bar{K}\eta'$ 等通道的比率过小，无法与辐射衰变的富胶特性相一致。本文旨在解决的核心问题是，缺乏一个能够纳入 $X(2370)$ 特定的三价胶子子结构的模型无关框架，以预测其强相互作用衰变模式。

方法论
作者提出了一种基于**电流-场对偶性（current-field duality）**的严谨方法，用以构建一个能明确将胶球的内部结构与其衰变产物联系起来的有效拉格朗日量。该方法流程如下：

1. 电流构建： 假设 $X(2370)$ 是一个由三个价胶子组成的胶球，作者利用对偶场强张量和结构常数 $f_{abc}$ 构建了一个标量胶子场算符 $\tilde{G}(x)$。
2. 对偶映射： 利用严格的电流-场对偶性，构建了一个相应的六夸克电流 $\tilde{J}(x)$。该电流由三个对偶夸克电流的乘积组成，确保其具有与三胶子场相同的量子数。这一步骤建立了胶球-夸克拉格朗日量（$\mathcal{L} = g \tilde{J} \tilde{G}$），从而编码了胶球的子结构。
3. Fierz 变换： 对六夸克电流在 Dirac 旋量空间和颜色空间中进行 Fierz 变换。这一过程使夸克电流玻色化，将其分解为一系列颜色单态、单态-单态-单态类型的电流。由此产生的项直接与三个标量介子（$\pi, K, \eta, \eta'$）耦合。
4. 振幅计算： 推导胶球衰变为各种三介子末态（如 $\pi\pi\eta, K\bar{K}\eta', \eta\eta\eta$）的跃迁振幅。计算利用标准的标量电流，并考虑了通过 Feldmann-Kroll-Stech 方案进行的 $\eta-\eta'$ 混合。
5. 部分宽度与比率： 使用标准的相空间积分计算部分衰变宽度。至关重要的是，作者关注的是这些部分宽度的比率。这种方法对于整体耦合常数和极点残数是模型无关的，因为这些因子在比率计算中会相互抵消。

主要贡献

• 依赖子结构的拉格朗日量： 不同于以往将胶球视为没有内部结构的定点场的 chiral 有效理论，本研究通过直接源自代表三价胶子的六夸克电流构建了拉格模型。
• 模型无关的预测： 通过计算部分衰变宽度的比率，本研究消除了对未知耦合常数 ($g$) 和极点残数 ($\lambda_{\tilde{G}}$) 的依赖，提供了可直接与实验分支比进行比较的稳健理论预测。
• 解决差异： 本文解决了文献 [34] 中有效理论方法的失效问题，该方法预测的对于 $\pi\pi\eta'$ 和 $K\bar{K}\eta'$ 通道的比率过小，这与辐射性 $J/\psi$ 衰变是富胶过程的预期相矛盾（文献 [34] 预测的 $K\bar{K}\eta'$ 比率为 0.06，而本研究为 0.63）。

结果
本研究计算了 $X(2370)$ 衰变为三种标量介子的部分宽度比。理论预测为：
$$\Gamma(\pi\pi\eta) : \Gamma(\pi\pi\eta') : \Gamma(K\bar{K}\eta) : \Gamma(K\bar{K}\eta') : \Gamma(K\bar{K}\pi) : \Gamma(\eta\eta\eta) : \Gamma(\eta\eta\eta')$$
$$= 2.08 : 0.73 : 0.44 : 0.63 : 3.25 : 0.03 : 0.10$$

当与 BESIII 合作组测得的实验乘积分支比（特别是 $J/\psi \to \gamma X(2370) \to \gamma PPP$ 的比率）进行比较时，理论比率显示出非常良好的吻合度。该模型产生的一组比率与实验数据是兼容的，这与手征有效理论的结果（文献 [34]）形成对比，后者预测的 $\pi\pi\eta'$ 和 $K\bar{K}\eta'$ 通道显著偏小。论文得出结论，计算出的比率与实验数据的整体兼容性支持了胶球的归属。

意义
本文声称，计算出的衰变宽度比与来自 BESIII 实验数据的吻合，支持了将 $X(2370)$ 归类为由三个价胶子组成的标量胶球。研究表明，通过严格的电流-场对偶性考虑胶球特定的子结构，对于准确描述其强衰变至关重要。结果表明，$X(2370)$ 不仅仅是一个常规介子或由结构无关的有效拉格朗日量描述的状态，而是一个其衰变动力学受其底层三胶子构型支配的状态。