Fibonacci number systems and the localization criterion in the many-body Aubry-André model

技术摘要：斐波那契数系与多体 Aubry-André 模型中的定域化判据

问题陈述
本文探讨了非相互作用多体版本 Aubry-André-Harper (AAM) 模型中的去定域化-定域化转变 (DLT)。虽然单粒子 AAM 模型已得到充分理解——在势能强度 $W=2t$ 时表现出转变——但近期关于多体系统的研究揭示了一个异常的相图。具体而言，虽然有理数密度 ($\rho$) 遵循标准的 $W=2t$ 转变，但某些无理数密度却表现出在 $W=0$ 处的转变（对于有限的 $W$ 始终为绝缘态），而其他密度则遵循 $W=2t$ 的行为。作者旨在通过数论工具解释这种密度的分类，并提供一个严谨的定域化判据。

研究方法
本研究结合了对 AAM 哈密顿量的精确对角化方法，以及应用特定的数系来分析粒子密度。

1. 模型： 作者考虑了一个由 $N$ 个费米子组成的尺寸为 $L$ 的一维晶格，定义密度 $\rho = N/L$。势能由黄金比例 $\alpha$ 调制，$\alpha$ 被近似为连续两个斐波那契数之比 ($F_{n+1}/F_n$)。系统尺寸被限制为 $L = F_n$。
2. 数值度量： 定域化通过极化率的方差（中心二阶矩）$M_2$ 来量化。$M_2$ 随系统尺寸 $L$ 和势能强度 $W$ 的变化行为决定了物相：与尺寸无关的 $M_2$ 表示绝缘相，而与尺寸相关的 $M_2$ 则表示金属相。
3. 数系： 核心理论工具是 Zeckendorf 定理，该定理指出每个自然数都可以唯一地表示为若干个非连续斐波那契数的和。作者将其扩展以构建：
   • 斐波那契数系（针对整数）。
   • 基于 $\phi$ 的数系（针对实数，其中 $\phi$ 为黄金比例）。
   • 一种新型的分数斐波那契数系，它介于两者之间。该系统通过相对于分母 $F_n$ 移动分子 $M$ 的 Zeckendorf 分解，来表示形式为 $M/F_n$ 的分数。

主要贡献
主要贡献在于引入了分数斐波那契数系作为解释定域化相图的框架。作者证明了特定密度 $\rho$ 的定域化行为取决于其在该数系中表示的稳定性，即随着系统尺寸 $L=F_n$ 的增加，其表示形式的变化情况。

• 密度分类： 本文根据表示方式将密度分为三类：

  1. 有理数密度： 分数斐波那契表示中的非零数字个数随系统尺寸增加而增加。这些密度表现出标准的金属-绝缘体转变，发生在 $W=2t$。
  2. 特定无理数密度： 作为斐波那契比率（例如 $\rho = F_{n-1}/F_n$）或其有限和极限的密度。在分数斐波那契系统中，这些密度的表示在 $n \to \infty$ 时保持不变（数字个数不发生变化）。这些密度对于所有有限的 $W$ 都是定域的（在 $W=0$ 处发生转变）。
  3. 其他无理数密度： 与斐波那契序列无关的密度（例如 $1/\sqrt{3}$）表现出数字个数不断增加且没有稳定模式的特征，其行为类似于有理数密度，具有 $W=2t$ 的转变。

• 热力学极限分析： 作者分析了向热力学极限（$L \to \infty$）过渡的过程，在此过程中分数斐波那契系统收敛至基于 $\phi$ 的数系。他们强调了趋向极限时方向的微妙依赖性。例如，密度 $\gamma = 1/\phi$（表示为 $0.1_\phi$）是严格定域的。然而，通过有限系统尺寸从上方 ($\gamma_+$) 或下方 ($\gamma_-$) 趋近于 $\gamma$ 的序列，表现出在 $W=2t$ 处的转变。在极限情况下，$\gamma_+$, $\gamma_-$ 和 $\gamma$ 相互合并，但由于趋近方式的不同，它们的定域性质各异。作者指出，在这种极限下，基于有限数字计数的分类失去了严格意义，因为对于某些边界情况，“不变”表示与“增长”表示之间的区别变得模糊。

结果
针对三种不同密度的数值计算证实了理论预测：

• $\rho = 1/2$： 方差 $M_2$ 在 $W < 2t$ 时表现出强烈的尺寸依赖性，表明为金属相；在 $W > 2t$ 时表现出尺寸无关性，表明为绝缘相。Zeckendorf 分解随 $L$ 的增加而获得更多项。
• $\rho = F_{n-1}/F_n$（逼近 $1/\phi$）： 方差 $M_2$ 对于所有 $W > 0$ 都是尺寸无关的，表明为绝缘相。无论系统尺寸如何，分数斐波那契表示始终保持稳定（$0.1_{F_n}$）。
• $\rho = 1/\sqrt{3}$： 与有理数情况类似，$M_2$ 在 $W < 2t$ 时表现出尺寸依赖性，确认了 $W=2t$ 的转变。其表示过程会获得新的项，且没有稳定模式。

研究还调查了“边界”情况（$\gamma_+$ 和 $\gamma_-$），即粒子数与理想斐波那契比率相差一个的情况。这些情况表现出在 $W=2t$ 处的转变，这与精确极限 $\gamma$ 的严格定域行为形成对比。

意义
本文声称，分数斐波那契数系为多体 AAM 中的定域化提供了一个透明的判据。它确立了在热力学极限下，数表示的稳定性或不变性是决定定域化转变的关键因素。具体而言，如果一个密度在基于 $\phi$ 的数系中的表示在系统尺寸增加时保持不变（不获得新数字），则系统是定域的；如果该表示需要增加数量的数字（不是不变的）来表示该密度，则会在 $W=2t$ 处发生金属-绝缘体转变。这项工作阐明了拟周期系统中热力学极限的本质，表明定域化行为可以取决于用于趋向无限极限的有限系统序列。