Spin models with critical ground space degeneracy from Lie algebra relations

在量子世界中，粒子表现得更像波而非固体对象，科学家们经常难以描述大量粒子如何相互作用。为了理解这些复杂的系统，研究人员使用了一种强大的数学工具，称为矩阵乘积态（Matrix Product State）。请不要将其视为一个物理对象，而应将其视为一种极其高效的方式，用于书写量子系统的指令，将海量的信息压缩成一种易于处理的形式。这些指令对于描述系统的最低能量状态（即基态）特别有用，基态是物质在平静且寒冷时所处的稳态。通常情况下，当科学家根据这些指令设计一个系统时，他们期望该系统具有单一且唯一的基态，就像一个球落入单个碗底一样。这种预期如此强烈，以至于多年来人们一直认为，除非专门设计成具有混沌性或无序性，否则通过这种方式构建的系统几乎总是只有一个基态。

然而，一项新的研究通过引入一个表现迥异的特定量子模型，挑战了这一长期存在的假设。研究人员利用名为 SO(3) 的对称群的数学规则构建了一个模型。简单来说，这个群描述了物体在三维空间旋转后看起来保持不变的特性。他们利用这种对称性的基本构建模块建立了一个系统，形成了一条量子粒子链，其中每个粒子可以存在于几种不同的状态中，包括一种类似于空洞或空位的状态。通过按照其对称性的规则排列这些粒子，他们创建了一套定义粒子与其相邻粒子如何相互作用的指令。其目标是观察当要求这个系统寻找其最低能量状态时会发生什么。

结果令人惊讶。当研究人员观察一条具有开放末端的长粒子链时，发现系统并没有稳定在单一状态。相反，它拥有大量的可能基态，且这些基态的数量随链长的增加呈二次方增长。为了直观理解，如果你将链的长度增加一倍，可能的基态数量会增加到四倍。这与通常的行为有着巨大的偏差，在通常情况下，基态的数量会保持在较小的常数水平。研究人员证明，这些众多的状态并非随机产生的；它们完全根据旋转规则进行组织。基态空间包含了从零到由链长决定的最大值之间，每一个可能的整数自旋状态的一个版本。这意味着该系统不仅不是混沌的，而且具有高度的结构性，同时承载着丰富的不同对称性。

当链被闭合成一个环（即将最后一个粒子连接回第一个粒子）时，情况发生了微小的变化。在这种周期性设置中，基态的数量仍然会增长，但增长速度要慢得多，仅随系统规模呈线性增长。在这种情况下，系统会稳定在两种主要的类型状态中：一种是类似于原始指令的独特、安静的状态，以及另一种所有粒子都朝同一方向排列的高度有序状态，类似于磁铁。这种排列具有重要意义，因为它表明该系统可以支持在其中传播且不损失强度的能量波，这种特性被称为无能隙（gapless）。研究人员通过证明创造这些波所需的能量随着波长的增加而变得微乎其微，证实了这一点，而这是物理学中临界行为的一个标志。

这项发现之所以特别重要，是因为它发生在一个数学上表现良好且具有“单射性”（injective）的系统中——这是一个技术术语，意味着指令是清晰的，不包含通常会导致混沌的隐藏冗余。过去，人们认为这类表现良好的系统几乎总是具有单一基态。这个新模型证明了事实并非总是如此。研究人员表明，大量的基态产生的原因，特别是因为他们观察的是仅两个相邻粒子之间的相互作用，这是最短的相互作用范围。如果他们观察的是三个粒子同时进行的相互作用，系统将会回归到具有单一基态的状态。这种区别至关重要：复杂性和众多的基态是由于选择了特定的短程规则所导致的，而非系统的缺陷。

这项研究还延伸到了特定旋转对称性之外。团队展示了这种构建方法可以应用于其他复杂的数学群，从而创造出一系列具有类似特性的模型。对于这些广义模型，基态的数量会根据系统的大小和对称性的复杂程度，按照特定的多项式公式进行增长。这提供了一种系统性的方法，来创建精确可解的量子模型，这意味着其性质可以通过精确计算得出，而无需近似。这些模型为物理学家提供了研究的一类新样本，表明即使在具有清晰对称规则的系统中，基态也可以出奇地丰富和多样。

该模型的物理阐释提供了一个具体的图景。链中的每个位点可以被视为持有自旋为 1 的粒子或一个空位。相邻粒子之间的相互作用允许这些粒子跳入空位或以特定方式配对，但规则禁止了某些组合。基态代表了系统在尊重旋转对称性的前提下，可以排列这些粒子和空洞的所有可能方式。在开放链中，系统可以排列成任何允许的自旋构型，从而导致二次方增长的可能性。在闭合环中，由于模式必须在连接点完美匹配的要求，可能性受到了显著限制，只剩下了安静状态和完全排列的磁性状态。

这项工作不仅仅是为已知的量子模型列表增添了一项，它还阐明了对称性、相互作用范围与基态复杂性之间的关系。它表明，通过仔细选择对称群和相互作用范围，人们可以设计出具有特定且可预测的简并度的系统。研究人员为这些发现提供了清晰的数学证明，确保了结果不仅是数值观测，更是严谨的事实。通过将构建过程推广到其他李代数，他们为探索此类广泛的系统打开了大门，可能导致对量子物质如何在最低能量水平上组织形式的新见解。这项研究证明了使用抽象代数结构来设计和理解具体物理模型的强大力量，揭示了量子基态的景观比此前想象的要多样得多。