A mesh-free multiresolution deep energy method with phase-field modeling of brittle fracture

技术摘要：用于相场脆性断裂建模的无网格多分辨率深能法

问题陈述
预测脆性材料中的裂纹成核与扩展仍然是计算固体力学中的核心挑战。传统的锐利裂纹方法需要显式追踪裂纹几何形状、重构网格或引入富集策略，当发生裂纹分支、合并或相互作用时，这些方法会变得异常复杂。相场建模通过将断裂重新表述为能量泛函的极小化问题来解决这一问题，利用标量相场取代显式的裂纹集，该相场在宽度与正则化长度 $l$ 成比例的弥散带内局部化。然而，这种方法对离散化提出了严格的分辨率要求：离散化必须能够解析局部化带，且路径是预先未知的。

现有的基于神经网络的求解器（深度里茨法/深度能量法）在应用于相场断裂时面临两种特定的失效模式：

1. 平滑性偏差：标准的具有平滑激活函数的神经网络倾向于表示平滑函数，这使得其难以表示尖锐的局部化带，或者会导致产生诱发伪吉布斯（Gibakes）振荡的全局振荡特征。
2. 固定点集利用：当积分点固定时，优化器会寻找“零能量模态”——即在采样点处使估计能量最小化，但场函数在点与点之间却发生退化的配置。这会导致非物理性的裂纹扩展或无法传播。

以往的补救措施通常会重新引入类网格结构（例如自适应积分网格、用于梯度的有限元插值），或者依赖于权重正则化，但这会抑制裂纹附近必要的快速变化。

方法论
作者提出了一种完全无网格的深度能量法，通过在离散化本身层面解决上述两种失效模式，而不回归到基于网格的结构。其核心组件包括：

1. 多分辨率特征编码：
   不同于仅依赖网络的容量，输入坐标通过构建自 $C^1$ 二次 B-样条网格的多分辨率特征编码进行了增强。

   • 分辨率上限：最细网格间距 $h$ 被设定为正则化长度 $l$ 的固定比例（例如，$h = 0.26l$）。这为能够表达的精细尺度设定了一个硬性限制，确保裂纹带从第一次迭代开始即可被有效表示。
   • $C^1$ 连续性：使用二次 B-样条确保了全局 $C^1$ 连续性。这对于四阶断裂能量密度（涉及拉普拉斯算子 $\Delta \phi$）至关重要，使得模型可以在单一离散化上运行，而无需更高阶的试函数空间或混合公式。
   • 层级结构：粗网格捕捉平滑的大尺度响应，而最细网格捕捉局部残差，模拟多重网格逻辑以加速训练。

2. 重采样蒙特卡洛积分：
   能量泛函通过分层蒙特卡洛积分进行估计。

   • 动态采样：积分点在每次优化迭代（或每隔几次迭代）时都会重新绘制。这消除了任何固定的点集，防止优化器通过利用特定配置来人为降低估计能量。
   • 分层采样：采样密度由三种层组成：均匀体域层、裂纹层（集中在现有和播种的裂纹处）以及过程区层（集中在损伤带及裂纹尖端前方）。这在不使用固定网格的情况下，将分辨率集中在需要的地方。

3. 场表示与边界条件：

   • 单个神经网络输出原始位移和相场值。
   • 精确边界条件：通过“提升”（Lifts，即将网络输出乘以在边界处消失的包络函数并加上给定数据）来精确施加本质边界条件，避免使用惩罚权重。
   • 弯曲区域：通过精确的 NURBS 映射处理弯曲几何。内部孔洞通过领域掩模（指示函数）进行管理，而非通过边界拟合网格，该掩模直接应用于积分过程中的能量密度。
   • 不可逆性：裂纹不可逆性通过相对于前一载荷步的单侧二次惩罚项来强制执行，而非使用历史场，从而保持与重采样方案的兼容性。

主要贡献

• 通过编码而非训练实现分辨率：能够解析裂纹带的能力取决于特征网格的选择，而非网络通过缓慢训练学习尖锐特征的能力。
• 通过重采样实现稳定性：研究表明，结合分辨率上限和逐迭代点重采样是必要的；移除其中任何一个要素都会导致裂纹无法传播或产生非物理结果。
• 高阶模型的统一离散化：编码的 $C^1$ 连续性允许在与二阶模型完全相同的离散化上求解四阶断裂能量密度，仅需增加一次自动微分过程。
• 零样本泛化：该方法被应用于一个随机多裂纹配置的公开基准数据集，无需任何训练数据或针对特定配置的调优，其表现优于该数据集作者的 Deep Ritz 基准方法。

结果
该方法在六个数值算例中进行了评估：

1. 单边缺口（SEN）拉伸与剪切：计算得到的载荷-位移曲线与交错有限元参考值相比，在拉伸峰值载荷误差约 1%，在剪切中误差约 3%。裂纹路径和相场与参考值高度一致。
2. 裂纹分支：该方法成功复现了对称的 Y 型分支模式，无需显式追踪或偏转准则，与未分解能量函数的有限元结果相匹配。
3. 阶梯状裂纹合并：三个预存裂纹合并为一个阶梯状模式，峰值载荷误差在 6% 以内。
4. 带圆孔的平板：弹性阶段通过 Kirsch 解进行了验证。在最大环向应力点处，裂纹自然发生，无需预设裂纹。
   高效处理了弯曲几何，在单个 NURBS 块上求解了厚壁环，复现了等几何文献中报道的裂纹路径。
5. 随机多裂纹基准：在包含 10 个随机配置（每个含 11–17 条裂纹）的数据集上，该方法在零样本运行中正确分类了 90% 的播种裂纹状态。它实现了平均 Dice 分数 0.739（拉伸）和 0.824（剪切），优于数据集作者训练的代理模型（0.680 和 0.733）以及无法产生一致模式的 Deep Ritz 基准。

意义与主张
论文声称，所提出的离散化解决了神经网络求解器中“高表达能力（表示裂纹带的需求）”与“稳定积分（避免零能量模态的需求）”之间的根本矛盾。

• 鲁棒性：该方法对网络初始化和采样序列具有鲁棒性，相比之下，以往的神经网络方法会因不同的随机种子产生不同的裂纹模式。
• 灵活性：它能处理复杂的拓扑结构（分支、合并）、弯曲几何以及高阶模型，且无需重构网格、追踪或多块耦合。
• 局限性：作者明确指出，该方法并非获得单个准静态解的快速途径；每个载荷增量的计算成本大约比有限元法高出一个数量级。其价值主张在于消除网格管理、自然处理复杂裂纹拓扑以及提高求解的鲁棒性。
• 范围：研究限于二维准静态问题及固定的正则化长度。文中提到，所使用的混合应变能分解在变分上并非一致的，但为了处理 Mode II 加载，这被视为一种实际的必要权衡。

这项工作证明，只要设计好离散化以防止神经网络求解器的特定失效模式，无网格深度能量法可以达到与有限元参考值相当的精度，同时具备相场建模固有的几何灵活性和拓扑自由度。