A family of second order, linear, unconditionally stable methods for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes equations

技术摘要：一类用于 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 方程的二阶、线性、无条件稳定方法

问题陈述
准确模拟复杂的两相流动力学（特别是通过 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes (CHNS) 方程建模的模型）面临着重大挑战，这源于四阶 Cahn-Hilliard 算子的数学刚性以及其与不可压缩 Navier-Stokes 方程的非线性耦合。标准的显式时间步进方案为了维持稳定性，面临着严苛的时间步限制（例如 $\Delta t \sim O(\Delta x^4)$）。虽然全隐式或凸分裂方法可以提供无条件能量稳定性，但它们通常需要在每个时间步求解大型耦合非线性系统，从而增加了计算成本。因此，需要一种能够结合二阶时间精度、无条件稳定性且具备线性可解性，同时又不牺牲系统物理守恒特性的算法。

方法论
作者提出了一类用于匹配密度两相流的二阶、线性、无条件稳定的隐式-显式 (IMEX) 方法。该半离散方案集成了三个主要部分：

1. 非线性项的外推： 使用外推量（记作 $H_{n+\theta}$）对非线性对流项和耦合项进行显式处理，从而避免了非线性迭代的需求。
2. 辅助变量表述： 通过辅助变量 $q$（源自双阱势 $F(\phi)$）处理非线性自由能项，通过重新表述问题来保持线性。
3. 时间-曲率正则化： 引入了一个由参数 $\epsilon \geq 0$ 控制的稳定机制。这涉及一个特定的插值算子 $J^\epsilon_{n+\theta}$，它结合了从先前关于 Navier-Stokes 正则化工作中改编而来的解的离散时间曲率概念。

由此产生的算法（算法 2.1）在每个时间步仅需求解系数为常数的线性系统。该方案由参数 $\theta \in (1/2, 1]$ 和 $\epsilon \geq 0$ 参数化。

主要贡献与理论结果

• 无条件稳定性： 本文建立了严格的离散能量估计，证明了所提方案对于 $\theta \in (1/2, 1]$ 且 $\epsilon \geq 0$ 是无条件长期稳定的。证明过程利用对称正定矩阵来定义离散范数，并证明了该方案在没有时间步限制的情况下满足离散能量耗散律。
• 线性可解性： 与可能需要非线性求解器的全隐式或凸分裂方法不同，该方法在每个时间步均产生线性系统，显著降低了计算复杂度。
• 二阶精度： 理论分析和数值实验证实，该方法保留了二阶时间精度。

数值结果
作者通过一系列基准计算验证了该方法：

• 收敛性分析： 使用制造解法 (MMS)，该方案在不同的有限元配置（$P2-P1-P2-P2$ 和 $P3-P2-P3-P3$）下，展示了速度、压力和相场变量近似二阶的时间收敛性。
• 鲁棒性与正则化： 在两相盖驱动流问题中，研究考察了 $\theta$ 与 $\epsilon$ 之间的相互作用。观察到，当 $\theta$ 取接近 Crank-Nicolson 极限的值（例如 $\theta=0.51$）且 $\epsilon=0$ 时，由于弱阻尼的时间振荡，方案可能会变得不稳定。引入正曲率正则化（$\epsilon > 0$）能有效抑制这些振荡，即使在较大的时间步长下也能恢复有界性和鲁棒性。
• 物理基准测试：
  • 旋节分解 (Spinodal Decomposition)： 该方法在长时间模拟 ($T=100$) 中能够准确捕捉能量耗散和质量守恒，表现出有效的相分离和粗化过程。
  • 液滴弛豫 (Droplet Relaxation)： 该算法成功解决了由表面张力驱动的界面运动，在保持质量的同时，使正方形液滴过渡到圆形平衡态。
  • 盖驱动流与瑞利-泰勒不稳定性： 该方案能够处理强剪切、界面变形以及由密度驱动的不稳定性（包括在低粘度状态下的 Kelvin-Helmholtz 卷曲），且未出现明显的伪振荡。

意义
本文声称，所提出的这类方法为 CHNS 系统提供了一种实用且高效的替代方案，以取代全非线性离散化方法。通过利用外推和辅助变量实现非线性解耦，并利用曲率正则化稳定时间离散，该方法在二阶精度、无条件稳定性以及线性计算成本之间取得了平衡。作者强调，该方案保留了模型的主要物理结构，包括能量耗散和质量守恒，使其适用于模拟各种机制下的复杂界面流。