Yang-Lee Criticality as a Dissipative Dynamical Phase Transition: Quantum Simulation of non-Hermitian Physics without Post-selection

技术摘要：作为耗散动力学相变的杨-李临界性

问题陈述
杨-李理论（Yang-Lee theory）描述了虚磁场下的经典伊辛自旋，该模型在理解一阶相变和非幺正共形场论（特别是极小模型 $M_{2,5}$）方面具有重要的历史意义。尽管该模型在解析上是可处理的，但由于需要虚磁场，直接实现杨-李临界性的物理过程受到了阻碍。以往提出的模拟此类物理的方法依赖于间接的解析延拓、非局部探测耦合或通过后选择（post-selection）实现的非厄米时间演化。后选择法尤其存在问题，因为它会产生指数级的采样开销，使得该方法在近期的量子设备上难以实现。本文解决的核心问题是：如何在演化遵循无条件（无需后选择）动力学的开放量子系统中，实现杨-李转移矩阵的非厄米生成元——以及更广泛的任意非厄米哈密顿量。

方法论
作者提出了一个框架，在该框架下，特定线性观测量的动力学由一个非厄米有效哈密顿量所支配。该核心方法论依赖于以下机制：

1. 双重希尔伯特空间与林德布拉德（Lindbladian）动力学： 系统被建模为一个在双重希尔伯特空间 $\mathcal{H} \otimes \mathcal{H}^*$ 中演化的开放量子系统，其密度矩阵 $\rho$ 通过 Choi-Jamiołkowski 同构映射为纯态 $|\rho\rangle\!\rangle$。林德布拉德算符作为该空间上的线性算符进行作用。
2. 弱对称性与非厄米子空间： 该构造利用了大量的“弱对称性”，其形式为 $Z_i \otimes Z_i$（其中 $Z$ 为泡利算符）。这些对称性导致了希尔伯特空间的碎裂，从而隔离出一个由包含 $X$ 和 $Y$ 算符的泡利串组成的特定子空间 $\Lambda$。
3. 通过观测量进行投影： 通过选择位于非厄米子空间 $\Lambda$ 内的观测量 $O$，其期望值 $\text{Tr}(O\rho(T))$ 完全由林德布拉德在 $\Lambda$ 上的投影决定。在此子空间内，其动力学与由非厄米哈密顿量 $\hat{H}_{\text{eff}}$ 生成的时间演化是同构的。
4. 工程化耗散： 目标非厄米哈密顿量的特定项（例如，杨-李转移矩阵生成元）是通过工程化的耗散通道（跳跃算符）和局部幺正变换来实现的。
   • 幺正项（虚磁场）由单点 $Z$ 旋转产生。
   • 耗散项（伊辛耦合和横场）由 $X$ 去相干通道以及涉及弱测量和反馈（或辅助比特耦合）的近邻通道产生。
5. 离散时间实现： 对于数字量子模拟器，连续时间林德布拉德演化通过 Suzuki-Trotter 分解近似为一系列局部幺正变换和量子通道序列。这避免了对连续模拟控制的需求。

主要贡献与结果

• 无需后选择实现杨-李理论： 本文证明了 $d+0$ 维杨-李理论可以作为 $(d-1)+1$ 维开放量子系统的有效动力学实现。经典杨-李模型的配分函数被精确地映射为开放系统中特定观测量（$O = \prod X_i$）的期望值。
• 动力学相变： 杨-李临界点被识别为观测量随时间变化的动力学相变。
  • 过阻尼相（Overdamped Phase）： 对应于非厄米哈密顿量的 $PT$ 对称相（实特征值），表现为观测量的纯指数衰减。
  • 欠阻尼相（Underdamped Phase）： 对应于 $PT$ 对称性破缺相（复共轭特征值），表现为阻尼振荡衰减。
  • 临界点： 这两种机制之间的转变与非厄米哈密顿量的例外点（exceptional point）相一致，即 $PT$ 对称性破缺的点。
• 测量协议： 作者详细阐述了测量自旋相关函数和“洛施密特回声”（Loschmidt Echo）相关子的协议。
  • 自旋相关子： 通过在特定时空点插入幺正缺陷 $V = e^{i\pi Z/4}$ 来局部修改动力学，作者展示了如何通过观测量期望值的变化来提取自旋-自旋相关函数。数值模拟证实了相关函数存在与负标度维数一致的无界增长。
  • 洛施密特回声： 定义了一个相关的相关子 $LE^{(n)}$，用于测量在不完美时间反演下对缺陷的敏感性，显示出与正标度维数一致的有界衰减。
• 推广至任意非厄米哈密顿量： 该构造被推广到将任何非厄米哈密顿量 $\hat{H}_{\text{target}}$ 嵌入到开放量子系统中。这是通过设计跳跃算符（与 Clifford 幺正变换成比例）作用于扩展系统（包括辅助量子比特/qudits）来实现的，从而在弱对称性扇区内重现 $\hat{H}_{\text{target}}$ 的矩阵元。这证明了任何非厄米哈密顿量都可以通过林德布拉德演化在无需后选择的情况下实现。

意义与主张
本文声称，当使用特定观测量进行探测时，杨-李理论是开放量子系统时空动力学的自然描述。其主要意义在于提供了一种精确的、无需后选择的方法来模拟非厄米物理和例外点现象。

• 实验可行性： 所提方案是为近期量子模拟器（如里德堡中性原子阵列）量身定制的。它仅需要局部两比特门（CNOT, CZ）、单点幺正变换以及通过辅助比特耦合实现的工程化耗散。非局部字符串观测量 $\prod X_i$ 的测量可以通过站点分辨的读出进行重建。
• 理论联系： 该工作在无条件开放量子动力学、例外点物理和非幺正统计力学之间建立了严密的联系。它阐明了与非厄米例外点相关的“对称性破缺”态是物理上不可见的（迹为零），但它们控制着物理观测量的弛豫动力学。
• 可扩展性： 虽然配分函数本身的测量（即观测量的值）可能需要指数级的运行次数才能解析，但该协议允许直接测量相关函数并探索临界性，而无需承担后选择带来的指数级开销。

作者总结道，这一框架为实验探索此前由于后选择限制而无法触及的非幺正临界点和广义非厄米哈密顿量开辟了一条路径。