Reduction of symmetric time-dependent Hamiltonian systems I: presymplectic principal $\mathbb{R}$-bundles

技术摘要：对称时变哈密顿系统的约化 I：预辛主 $\mathbb{R}$-丛

问题陈述
本文研究了具有对称李群 $G$ 的时变哈密顿系统的几何约化。虽然自治哈密顿系统在辛流形上的约化已经非常成熟（例如 Marsden-Weinstein 约化），但将这些方法扩展到时变系统时会面临特定的挑战。以往的方法（如文献 [8]）假设对称群作用保持配置纤维化 $\Pi: Q \to \mathbb{R}$（即作用不改变时间变量）。这一假设具有局限性，因为它排除了具有显式时间依赖性的守恒量，并且无法容纳平移时间变量的变换。作者旨在开发一种约化框架来放宽这一条件，允许对称群以一种不一定保持纤维化 $\Pi$ 的方式作用于配置丛，只要该作用保持相关的 1-形式 $\eta = \Pi^*(dt)$ 即可。

方法论
作者利用时变哈密顿力学的扩展形式，利用主 $\mathbb{R}$-丛和预辛结构的几何学。

1. 几何设置：

   • 配置空间 $Q$ 是纤维化 $\Pi: Q \to \mathbb{R}$ 的全空间。
   • 动量相空间被识别为对偶垂直丛 $V^*\Pi$。
   • 扩展相空间是余切丛 $T^*Q$。
   • 建立了主 $\mathbb{R}$-丛结构 $\mu: T^*Q \to V^*\Pi$，其中投影是垂直丛包含映射 $V\Pi \hookrightarrow TQ$ 的对偶。

2. 预辛结构：

   • 给定一个哈密顿截面 $h: V^*\Pi \to T^*Q$，作者定义了一个齐次哈密顿函数 $F_h: T^*Q \to \mathbb{R}$。
   • 该截面诱导了两个闭 2-形式：
     • $\omega_h = \omega_Q + dF_h \wedge \eta_0$ 在 $T^*Q$ 上，这是一个亏格为 2 的预辛结构。
     • $\Omega_h = h^*\omega_Q$ 在 $V^*\Pi$ 上，这是一个亏格为 1 的预辛结构。
   • 动力学由 $T^*Q$ 上的向量场 $X^{\omega_Q}_{F_h}$ 和 $V^*\Pi$ 上的 $R_h$ 编码，两者都是 $\mu$-可投影的。

3. 对称性与动量映射：

   • 作者假设存在李群作用 $\phi$ 在 $Q$ 上，使得 1-形式 $\eta = \Pi^*(dt)$ 是不变的 ($\phi_g^*\eta = \eta$)。这意味着 $\Pi \circ \phi_g = \Pi + m(g)$，其中 $m$ 是一个乘性函数，或者在无穷小意义下，存在一个李代数 1-上同调 $c_\phi: \mathfrak{g} \to \mathbb{R}$。
   • 在此条件下，余切提升作用在 $T^*Q$ 上以及诱导在 $V^*\Pi$ 上的作用都是预辛的。
   • 构造了新的动量映射：
     • 在 $T^*Q$ 上：$J(\alpha_q) = J_c(\alpha_q) - F_h(\alpha_q)c_\phi$，其中 $J_c$ 是正则动量映射。
     • 在 $V^*\Pi$ 上，$J_V$ 通过投影 $\mu$ 由 $J$ 诱导 ($J = J_V \circ \mu$)。
   • 证明了一个诺特定理的版本，确立了即使 $J_V^\xi$ 显式依赖于时间，$J_V^\xi$ 也是时变动力学 $R_h$ 的第一个积分。

4. 约化程序：

   • 对于正则值 $\nu \in \mathfrak{g}^*$，作者分别在扩展空间 $(T^*Q, \omega_h)$ 和受限空间 $(V^*\Pi, \Omega_h)$ 上进行约化。
   • 他们证明了商空间 $(T^*Q)_\nu = J^{-1}(\nu)/G_\nu$ 和 $(V^*\Pi)_\nu = J_V^{-1}(\nu)/G_\nu$ 继承了预辛结构 $\omega_h^\nu$（亏格为 2）和 $\Omega_h^\nu$（亏格为 1）。
   • 至关重要的是，主 $\mathbb{R}$-丛结构得以保持：约化映射 $\mu_\nu: (T^*Q)_\nu \to (V^*\Pi)_\nu$ 是一个主 $\mathbb{R}$-丛，且约化后的动力学和向量场仍与该结构保持兼容。

主要贡献与结果

• 对称条件的泛化： 本文通过放宽要求对称群必须保持时间纤维化的限制，泛化了以往的约化理论。它仅要求 1-形式 $\Pi^*(dt)$ 是不变的，从而允许具有时间平移对称性的情况。
• 修正的动量映射： 动量映射 $J$ 的构造包含了一个涉及哈密顿函数 $F_h$ 和李代数上同调 $c_\phi$ 的修正项。这种修正对于在时变设定下实现约化至关重要。
• 保持丛结构： 约化过程成功地产生了一个连接约化扩展相空间和约化受限相空间的约化主 $\mathbb{R}$-丛，保留了两个描述层级之间的几何关系。
• 显式示例： 该理论通过两个示例进行了说明：
  1. 从以恒定速度运动的参考系中观察到的 $N$ 维谐振子。
  2. 从具有恒定角速度的参考系中观察到的时变 Elroy's Beanie（两个质心铰接的刚体）。
     在这两种情况下，作者都明确计算了约化空间、预辛结构以及动力学。

意义与主张
作者声称，这项工作通过容纳不保持时间变量的对称性，克服了原始 Albert 约化 [2] 及先前扩展 [8] 的局限性。这使得识别显式依赖时间的第一个积分成为可能，而这在之前的约化框架中是无法实现的。

论文强调，约化程序统一了余切丛的约化与亏格为 1 和 2 的预辛结构的约化。作者指出，为了确保约化结构保持预期的亏格（2 和 1），必须排除哈密顿向量场 $X^{\omega_Q}_{F_h}$ 的相对平衡点。对这些相对平衡点的分析及其稳定性被确定为未来的研究课题。

此外，作者建议，目前基于预辛主 $\mathbb{R}$-丛的框架可以扩展到辛主 $\mathbb{R}$-丛，从而进一步将 [8] 的结果推广到非不变纤维化，这是他们打算在随后的研究中进行的路径。