The quantum supremum of the Bell inequality is not attained in finite dimension
本文证明了 贝尔不等式的量子上确界无法通过任何有限维策略实现，从而表明在 情景下，有限维量子相关集的集合是不闭合的，并且需要无界的局部维度才能趋近于该最大值。
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在量子物理学那奇异且违背直觉的世界里，粒子可以以一种似乎挑战日常经验规则的方式联系在一起。这种被称为“纠缠”的现象，允许两个分离的对象共享单一的存在，使得测量其中一个能瞬间揭示关于另一个的信息，无论它们相隔多远。科学家长期以来一直使用被称为“贝尔不等式”的数学测试，来检查这些连接是真正的量子关联，还是可以用隐藏的经典规则来解释。这些测试就像一条边界线：如果结果保持在这一侧，世界就表现为经典行为；如果跨越了这条线，宇宙则是在以一种真正的量子方式运行。几十年来，物理学家们一直在思考，这些量子连接的强度是否存在一个测试极限。具体而言，他们询问是否对于有限的量子资源而言，存在一个可以达到的最大可能得分，或者说，最佳得分是否是一个只能通过使用无限量资源才能趋近的理论天花板。
由日内瓦大学和康斯特鲁克托大学的物理学家耶夫·保威尔斯（Jef Pauwels）开展的一项近期研究，解决了一个关于特定测试（即被称为 I3322 不等式的测试）的长期争论。这个测试涉及两个人，传统上被称为爱丽丝（Alice）和鲍勃（Bob），他们各自有三种不同的测量选择，每种选择产生两个可能的结局。2010年，研究人员帕尔（Pál）和韦尔特西（Vértesi）发现了一种巧妙的方法，利用不断增大的量子态来构建该测试的量子策略。他们发现，随着他们使量子系统变得更大、更复杂，测试得分也随之不断提高，一步步逼近大约等于 0.25087538 的某个特定数值。他们怀疑这个数字就是绝对极限，但也猜测无论他们如何增大量子系统，都永远无法真正达到那个精确的数字。他们认为极限确实存在，但对于任何有限规模的机器来说，它都是永远无法触及的。
保威尔斯现在证明了帕尔和韦尔特西在两方面都是正确的。该研究表明，这项测试的最高可能得分确实是那个特定的数字，但也证明了任何基于有限维度的量子策略都永远无法实现它。要达到这个极限，需要一个具有无界或无限局部维度的系统。这一发现具有重要意义，因为它揭示了我们对量子相关性理解中的一个基本差距。它表明，来自有限量子系统的所有可能结果的集合不是“封闭的”，这意味着存在着一些极限点，系统可以无限趋近于它们，但却永远无法真正触及。在每人拥有三个设置和两个结果的具体情境下，这是出现这种奇特行为的最小规模设置。
该证明依赖于一种将复杂的量子问题转化为更简单、更易处理的形式的方法。研究人员将爱丽丝和鲍勃可能使用的任何策略映射到一个描述其测量设置之间关系的概率网格上。这个网格充当了一个“天花板”，为他们能够实现的得分提供了一个上限。研究随后表明，帕尔和韦尔特西所发现的那些使用重复连接模式的策略，是向这个天花板攀升的最有效方式。随着量子系统规模的增长，这些策略会越来越接近极限。然而，达到极限所需的数学条件会迫使量子态变得无法归一化，本质上意味着该状态需要无限的能量或概率才能存在。因此，完美得分是一个有限系统可以追逐但永远无法捕捉到的地平线。
这一结果对于我们理解量子力学的极限具有直接影响。它证实了，为了无限趋近于该不等式的最大违反程度，人们必须愿意使用规模不断扩大的量子系统。不存在固定规模的量子计算机或粒子系统能够产生此项测试的最大可能相关性。该研究还阐明了量子相关性的全貌，表明所有有限维度量子行为的集合与所有可能的量子行为（包括那些可能需要无限维度的行为）的集合是不同的。虽然论文对于无限维度的系统是否真的能达到该极限仍留有悬念，但它明确确立了有限系统无法做到这一点。
这项工作是使用计算机证明助手进行形式化的，这是一种能以绝对精度检查数学论证以确保不存在逻辑错误的工具。这种严谨的方法确认了该结果不仅是一个数值观察或模拟，而是一个数学上的必然。研究结果表明，在有限资源所能实现的可能性与更广阔的量子世界所能实现的可能性之间，存在着一道比以往认为的更清晰、更复杂的边界。对于实验学家而言，这意味着任何试图达到该测试理论最大值的尝试，无论其设备多么先进，都将总是略微逊色。极限是真实的，但它是一个有限量子系统在本质上无法抵达的目的地。
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