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Quantum Imaginary Time Evolution on an Infinite 1D Chain

本文介绍了一种用于在无限一维晶格系统上执行虚时演化的量子线路算法，该算法采用参数化均匀矩阵乘积态拟设，并通过在横场伊辛模型上的经典模拟与 IBM 量子模拟进行基准测试，以分析有限采样噪声对收敛性的影响。

原作者： Hao-Ti Hung, Tung Tsao, Ying-Jer Kao

发布于 2026-09-01

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原作者： Hao-Ti Hung, Tung Tsao, Ying-Jer Kao

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

在现代物理学的广袤版图中，存在着一个持久的挑战：理解无数微小粒子是如何相互作用，从而创造出我们周围世界的复杂行为的。当这些粒子受量子力学的奇异规则支配时，数学计算会变得极其纠缠，甚至连最强大的超级计算机也难以跟上步伐。科学家们长期以来一直依赖一种被称为“矩阵乘积态”的巧妙捷径，这种方法通过关注每个粒子如何与其相邻的粒子相连，来简化这些无限的粒子链。这种方法一直是经典计算机的得力助手，但随着量子计算机的到来，一个新的前沿领域已经开启。这些机器目前仍处于嘈杂且不完美的早期阶段，但它们承诺能够直接模拟量子系统。目标是利用这些设备来寻找系统的“基态”，即其最稳定、能量最低的构型。了解这个状态就像是了解一台复杂机器的静止位置；它揭示了材料的本质以及它在不同条件下将如何表现。

台湾大学的一个研究小组通过教会量子计算机如何模拟一条无限的粒子链，在实现这一目标方面迈出了重要一步。他们的工作专注于一种特定的数学技术，称为虚时演化。在现实世界中，时间向前推进，量子系统的演化会保持其总概率不变，就像一个永不倒下的旋转陀螺。然而，为了寻找最低能量状态，科学家们经常使用一种数学技巧，将时间视为虚数。这个过程就像是一个过滤器，逐渐洗去系统中高能、不稳定的部分，直到只剩下最稳定、能量最低的状态。问题在于，这种“虚数”过滤器与量子计算机并不天然契合，因为量子计算机的设计初衷是执行能够保持概率不变的操作。研究人员必须想方设法，迫使这种非标准的流程在严格的量子硬件规则内运行。

为了解决这个问题，该团队开发了一种方法，利用参数化量子电路来表示无限粒子链。可以将这个电路想象成一台由量子门组成的灵活、可调节的机器。研究人员将这台机器设置为模仿粒子链的结构，然后让它向最低能量状态演化。他们在处理这种非标准的“虚数”过滤器时面临着选择。一种方法是使用标准的量子门来近似这个过滤器，本质上是在伪造这个过程。另一种方法是向系统中添加一个额外的辅助粒子，即辅助比特（ancilla qubit）。这个辅助粒子允许他们将这个困难的过滤器嵌入到一个更大的、完全有效的量子操作中。通过在经典模拟器和来自 IBM 的真实量子硬件上对这两种方法进行测试，他们发现使用额外辅助比特的方法要可靠得多。它保持了模拟的稳定性和准确性，而近似方法则会在一定时间后开始发生漂移并产生错误的结果。

随后，研究人员通过应用一种称为量子 Lanczos 算法的精炼技术，进一步推进了他们的发现。这一步骤类似于将一张最低能量状态的粗略素描润色成一幅精准的肖像画。通过智能地收集并结合来自不同模拟阶段的数据，他们能够纠正由当前不完美量子机器所引入的误差。当他们在实际的 IBM 量子设备上运行这些模拟时，遇到了一个新的障碍：硬件固有的噪声。由于计算机必须多次测量模拟结果才能获得可靠答案，结果会因统计随机性而产生波动。该团队发现，这些波动会导致模拟在达到完美的最低能量之前就停滞下来，在距离目标仅一步之遥的地方停止。然而，通过分析这些停滞结果的分布，他们仍然可以提取出对真实基态的高度准确的估计。

这项研究证实，使用量子计算机模拟无限量子系统是可能的，仅需极少量的量子比特——对于他们测试的具体模型而言仅需七个。这是一个至关重要的演示，因为它表明系统的复杂性并不要求计算机的规模无限增长。研究人员发现，虽然近似方法更简单，但它引入的误差会随时间增长，使其不适合长时间模拟。相比之下，使用额外辅助比特的方法虽然需要稍多的硬件资源，但能保持其准确性并向正确的答案收敛。这项工作还强调了统计噪声在这些实验中的关键作用。团队展示了这些误差并非随机的混沌，而是遵循可预测的模式，因此可以被解释并予以修正。

最终，这项研究为使用当今不完美的量子计算机来解决以往无法触及的问题提供了一条实用的路线图。通过成功模拟无限粒子链并精炼结果以应对硬件噪声，该团队证明了这些设备不仅可以模仿小型有限系统，还可以做得更多。他们展示了一条通往理解无限延伸物质基本属性的路径。研究结果表明，通过结合适当的算法和误差修正技术，量子计算机可以开始应对凝聚态物理学中最复杂的问题，为我们洞察未来——即通过直接模拟其量子行为来设计新材料——提供了契机。

技术摘要：无限一维链上的量子虚时演化

问题陈述
含噪声中等规模量子（NISQ）设备的出现激发了人们对模拟量子多体系统的兴趣。虽然基于酉算子性质的量子电路算法已成功用于实现实时间演化算法（如 TEBD、TDVP），但将这些方法扩展到虚时间演化（ITE）仍具有挑战性。ITE 算子 $e^{-H\tau}$ 是非酉的，这使得它与标准的酉量子门不兼容。现有的解决路径——量子 ITE (QITE)、变分 ITE (VITE) 和概率 ITE (PITE)——主要局限于有限尺寸系统。此外，在真实的量子硬件上，通过重复测量估计代价函数时产生的统计噪声会显著影响变分优化的收敛性。本研究旨在解决如何使用量子电路在无限一维晶格系统上执行 ITE 的问题，并分析了有限采样噪声对收敛性的统计影响。

方法论
作者提出了一种基于**时变变分原理（TDVP）**应用于均匀矩阵乘积态（uMPS）拟设的量子电路算法。其核心方法论包括：

将 uMPS 映射到量子电路：
- 一个平移不变的 uMPS 被映射为一个参数化量子电路（PQC）。对于键维数 $D=2^N$ ，单个单格单元对应于作用在 $N+1$ 个量子比特上的酉门。
- 为了处理 TDVP 代价函数所需的非酉环境张量（ $l$ 和 $r$ ），作者通过扩大希尔伯特空间（将非酉张量嵌入到更大的酉矩阵中）来构建酉门。
- 代价函数（代表演化态与目标态之间的重叠）被构建为一个量子电路，其中全零态的输出概率作为优化的度量。
处理非酉性（两种策略）：
- 酉近似法（类 QITE）： 非酉 ITE 算子被近似为一个酉算子 $e^{-iA(\tau)d\tau}$ ，其中厄米算子 $A(\tau)$ 通过最小化归一化后的 ITE 态与其酉近似之间的距离来确定。这种方法不需要额外的量子比特，但会引入近似误差。
- 辅助比特辅助嵌入法（类 PITE）： 非酉算子通过块编码（block encoding）被嵌入到一个带有额外辅助量子比特的更大酉算子中。这种方法避免了近似误差，但增加了量子比特的数量（例如，对于 $D=2$ ，从 6 个增加到 7 个量子比特）。
量子 Lanczos（QLanczos）精炼：
- 为了减轻来自酉近似和统计噪声的影响，作者采用了量子 Lanczos 算法。
- QLanczos 不是从 $H^k|\phi\rangle$ 生成克雷洛夫子空间（Krylov subspace），而是从 ITE 态序列 $|\phi_l\rangle = e^{-l d\tau H}|\phi_0\rangle$ 中构建子空间。
- 通过使用由这些态构成的重叠矩阵 $S$ 和哈密顿矩阵 $H$ 来求解广义特征值问题，该算法能够精炼基态能量估计。

关键结果
作者使用处于临界点（ $H = \sum_i (-\sigma^z_i \sigma^z_{i+1} + \sigma^x_i)$ ）的横场伊辛模型（TFIM），在键维数 $D=2$ 的条件下对算法进行了基准测试。

态矢量模拟：
- 辅助比特辅助方法与经典张量网络（TN）TDVP 结果高度吻合，收敛至预期的基态能量密度（ $\approx -1.2732$ ）。
- 酉近似方法在长演化时间（ $\tau \approx 1$ ）下表现出意料之外的能量上升，这归因于无限系统设置中固有的有限相关域大小以及酉近似误差。
真实量子设备模拟（IBM Quantum）：
- 在设备（如 ibm_nairobi、ibm_auckland）上的模拟表明，虽然由于有限采样统计的原因，原始 ITE 轨迹存在噪声，但 QLanczos 后处理显著降低了误差，使能量估计更接近基态值。
噪声统计分析：
- 研究分析了源自测量估计的代价函数值和能量密度的分布。
- 虽然单个代价估计遵循正态分布（伯努利过程），但多个优化运行中的能量密度聚合分布呈现出一种右偏的、类似麦克斯韦-玻尔兹曼（Maxwell-Boltzmann）的包络线。
- 这种分布是由“停滞点”（即优化因噪声而停止的点）的运行间差异以及单次运行内的高斯波动共同作用的结果。分析表明，当优化器容差变得与有限采样噪声相当时，优化轨迹往往会在达到变分最小值之前发生停滞。

意义与主张
本文声称展示了首次针对无限一维系统实现的量子电路 ITE。其主要贡献包括：

算法扩展： 成功地利用参数化量子电路将 TDVP 框架扩展到无限晶格，且保持了与演化时间无关的恒定门数量。
噪声表征： 对有限采样噪声如何影响 ITE 中的变分收敛进行了详细的统计研究，识别了由此产生的能量误差的具体分布特征。
误差缓解： 验证了 QLanczos 算法在模拟器和真实硬件上精炼基态能量估计的效用，有效地补偿了酉近似误差和测量噪声。
可扩展性： 虽然目前的实现侧重于 $D=2$ （仅需 6 或 7 个量子比特），但作者指出，uMPS 与量子门之间的映射可以推广到更大的键维数，为未来模拟更复杂的强纠缠系统提供了路径。

该工作得出结论：尽管当前的 NISQ 设备引入了显著的统计挑战，但结合变分拟设、辅助比特嵌入和 QLanczos 精炼，为模拟无限量子系统及估计基态性质提供了一条可行路径。

技术摘要：无限一维链上的量子虚时演化

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