Deviation from $\mu-\tau$ reflection symmetry under radiative corrections in the minimal seesaw framework

技术摘要：最小跷西木（Minimal Seesaw）框架下辐射修正导致的 $\mu-\tau$ 反射对称性破缺

问题陈述与动机
中微子振荡实验已经证实，中微子具有质量，且味本征态是质量本征态的混合。虽然诸如太阳混合角 ($\theta_{12}$)、反应堆混合角 ($\theta_{13}$) 以及质量平方差 ($\Delta m^2_{21}, |\Delta m^2_{31}|$) 等参数已被高精度测量，但大气混合角 ($\theta_{23}$) 和狄拉克 CP 相位 ($\delta$) 仍是研究课题。最近的全局分析表明，$\theta_{23}$ 接近极大值 ($45^\circ$)，且 $\delta$ 接近 $270^\circ$（具体而言，对于反向序为 $274^\circ$），这暗示了某种潜在的对称性。$\mu-\tau$ 反射对称性是一个理论框架，它自然地预言了极大大气混合 ($\theta_{23} = \pi/4$) 和极大 CP 破坏 ($\delta = \pi/2$ 或 $3\pi/2$)。然而，由于实验数据表明存在偏离这些精确值的微小但显著的偏差，该对称性很可能是近似的。本工作研究了在最小跷西木框架内，由辐射修正引起的 $\mu-\tau$ 反射对称性的破缺，假设该对称性在高能跷西木标度 ($\Lambda_{\mu\tau} = 10^{14}$ GeV) 处是精确的，并演化至电弱标度 ($\Lambda_{EW} = 172.76$ GeV)。

方法论
作者采用了最小跷西木框架，该框架仅引入两个右手中微子场，从而导致一个无质量的轻中微子和一个单一的物理马约拉纳 CP 相位。分析是在最小超对称标准模型 (MSSM) 内进行的，其 SUSY 破缺标度 ($\Lambda_S$) 为 1 TeV。

1. 解析推导： 从有效马约拉纳中微子质量矩阵 $M_\nu$ 的一圈重整化群方程 (RGE) 出发，作者利用积分解法。他们推导出了将低能参数（质量、混合角和 CP 相位）与高能对应参数联系起来的解析表达式。对称性破缺由源于 $\tau$ 轻子汤川耦合运行的因子 $\epsilon$ 以及整体缩放因子 $I_\alpha$ 来参数化。
2. 对称性实现： 在高能标度 $\Lambda_{\mu\tau}$ 处施加 $\mu-\tau$ 反射对称性。这固定了高能 $\theta_{23}$ 的值为 $\pi/4$，以及 $\delta$ 的值为 $\pi/2$ (Case-I) 或 $3\pi/2$ (Case-II)。马约拉纳相位和非物理相位被赋予特定值，以保持混合矩阵的 Harrison-Scott 形式。
3. 数值分析： 利用推导出的解析表达式，在 $\Lambda_{EW}$ 处数值估计低能参数。分析针对正序 (NO, $m_1=0$) 和反序 (IO, $m_3=0$) 两种情景进行。研究考虑了三个代表性的 $\tan\beta$ 值 (10, 30, 50)，以调查辐射修正对该参数的依赖关系。高能输入参数（非对称固定的质量和混合角）受到相关性图的约束，以确保低能预测落在当前实验的 $3\sigma$ 范围内。

主要贡献

• 解析表达式： 本文推导了在最小跷西木框架下，针对 NO 和 IO 两种情景，所有低能中微子参数（质量、混合角、狄拉克和马约拉纳 CP 相位、Jarlskog 不变量以及有效马约拉纳质量）关于高能参数的显式解析公式。
• 辐射破缺机制： 它量化了在 MSSM 中由于一圈辐射修正导致的低能参数相对于高能对称值的偏差，并将其与将 SUSY 破缺标度取在电弱标度的情形区分开来。
• 对 $\tan\beta$ 的依赖性： 研究系统地调查了对称性破缺的幅度如何随 $\tan\beta$ 变化，而 $\tan\beta$ 是 MSSM 中的一个关键参数。

结果

• 正序 (NO)： 对于 NO，适当的高能输入参数使得低能预测在所有三个 $\tan\beta$ 值 (10, 30, 50) 下均与当前实验数据一致。由于辐射修正，预测的 $\theta_{23}$ 会从 $45^\circ$ 略微偏移进入第二八分象限 ($\theta_{23} > 45^\circ$)。中微子质量之和保持在宇宙学限制之下 ($\sum m_i < 0.12$ eV)，且有效马约拉纳质量 $|\langle m \rangle_{ee}$ 满足当前限制。
• 反序 (IO)： 对于 IO，对于 $\tan\beta = 10$ 有效的相同高能输入，在 $\tan\beta = 30$ 和 $50$时无法满足质量平方差的约束。然而，通过调整高能质量输入，作者使所有$\tan\beta$值下的情况都恢复了与实验数据的相符性。一个显著的结果是，IO 情景中的辐射修正使$\theta_{23}$向第一八分象限移动 ($\theta_{23} < 45^\circ$)，这与 NO 的趋势相反。此外，对于 Case-II ($\delta = 3\pi/2$)，发现经过辐射修正后的低能 $\delta$ 约为 $270.7^\circ$（当 $\tan\beta=50$ 时），这与全局最佳拟合值 $274^\circ$ 非常接近。
• 偏差趋势： 在 NO 和 IO 两种情景中，偏离（$\Delta m_i, \Delta \theta_{ij}, \Delta \delta$）高能值的幅度都随着 $\tan\beta$ 的增加而增大。这归因于随着 $\tan\beta$ 增长，辐射修正参数 $|\epsilon|$ 也随之增大。

意义与主张
本文声称，结合了高能标度 $\mu-\tau$ 反射对称性和辐射修正的最小跷西木框架，为解释观测到的中微子混合模式提供了一种可行的机制。具体而言，它证明了：

1. 该对称性可以在高能标度是精确的，并通过重整化群运行自然破缺以匹配低能数据。
2. 该框架能够成功容纳两种质量序在不同 $\tan\beta$ 值下的当前实验约束，前提是选择了适当的高能输入。
3. IO 情景（Case-II）中 $\delta \approx 270.7^\circ$ 的特定预测，为实验观测到的 $\delta \approx 274^\circ$ 提供了一个引人注目的理论解释。
4. 研究强调了在辐射修正下，NO（向第二八分象限偏移）与 IO（向第一八分象限偏移）之间 $\theta_{23}$ 八分象限的不同行为，这为区分两种质量序提供了潜在的判据。

作者总结道，其解析方法在建立高能对称参数与低能可观测物理量之间的直接联系方面，为理解轻子味混合提供了一个稳健且可测试的框架。