A spectral-element method for computing many eigenvalues and their asymptotics of the Schrödinger operator with Robin boundary condition

技术摘要：一种用于计算具有 Robin 边界条件的薛定谔算子大量特征值及其渐近性的谱元法

问题陈述
本文研究了在简单几何和复杂几何上，具有 Robin 边界条件的薛定谔算子 $L_{SO} := -\Delta + V(x)$ 的特征值与特征函数的数值计算问题。特定的特征值问题旨在寻找 $\lambda \in \mathbb{R}$ 和 $u \not\equiv 0$，使得：
$$(-\Delta + V(x))u(x) = \lambda u(x), \quad x \in \Omega$$
$$\frac{\partial u}{\partial n} + \sigma u = 0, \quad x \in \partial\Omega$$
其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 是一个有界区域，$V(x)$ 是实值势函数，$\sigma \in \mathbb{R}$ 是 Robin 参数。

确定的主要挑战在于需要高精度地计算数千个高阶特征值，以研究 Robin-to-Neumann (RtN) 间隙的渐近行为，该间隙定义为 $g_n(\sigma) = \lambda^\sigma_n - \lambda^0_n$。标准的低阶有限元或有限差分方法通常对于固定的自由度（DOFs）数量只能解析有限部分的谱，这使得它们不适用于研究高频渐近性。虽然谱方法提供了高分辨率，但它们通常受到简单几何（如矩形、圆盘）的限制。

方法论
作者提出了一个统一的框架，利用用于简单几何的谱方法和用于复杂/不规则几何的谱元方法 (SEM)。

1. 变分表述： 该问题被转化为使用相容有限维子空间 $X_N \subset H^1(\Omega)$ 的弱形式。这导致了一个广义矩阵特征值问题 $AU = \lambda_N MU$，其中 $A$ 和 $M$ 分别是刚度矩阵和质量矩阵。
2. 谱方法（简单几何）： 对于如区间、矩形、圆盘、立方体和球体等区域，作者采用了全局谱基函数。在 1D 中，使用勒让德多项式来构建基函数。在高维情况下，则应用张量积基函数。
3. 谱元方法（复杂几何）： 对于不规则区域，将区域 $\Omega$ 分解为互不重叠的曲线元素。在每个元素内，采用高阶多项式逼近（使用 Gauss-Lobatto-Legendre 节点和 Lagrange 基函数）。该方法利用从参考正方形（或立方体）到物理元素的坐标变换，并结合雅可比因子来处理几何映射。
4. 分辨率策略： 这些方法旨在实现“谱型精度”，即以合理精度计算出的特征值数量与自由度（DOFs）成正比。这使得高效计算数千个特征值成为可能，且仅需一台配备 128 GB 内存的标准高性能计算（HPC）节点。

关键结果
作者验证了其方法，并将其应用于研究 RtN 间隙及其累积平均值 $G_n(\sigma) = \frac{1}{n}\sum_{m=1}^n g_m(\sigma)$。

• 精度与分辨率：
  • 1D： 具有 $N$ 个自由度时，谱方法可以计算出约 $0.6N$ 个相对误差低于 $10^{-8}$ 的特征值。
  • 2D： 对于简单几何（谱方法），约 $0.4N$ 个特征值能得到高精度解析。对于复杂几何（谱元方法），约 $0.25N$ 个特征值能得到高精度解析。
  • 规模： 使用 $N \approx 25,000$ 个自由度，作者成功地为各种 2D 复形区域（如 L 型区域、蘑菇形、四分之一体育场形）计算了超过 5,000 个可靠的特征值，且相对误差 $< 10^{-8}$。
• 渐近分析：
  • 计算出的特征值证实了拉普拉斯算子（$V \equiv 0$）在 2D 中的现有理论结果，即 $\lim_{n \to \infty} G_n(\sigma) = \frac{2|\partial\Omega|}{|\Omega|}\sigma$。
  • 本研究将这些发现扩展到了具有非平凡势函数 $V(x)$ 的薛定谔算子。
  • 在不同 1D、2D 和 3D 区域以及不同势函数和边界参数 $\sigma$ 下的数值结果，为所推导的渐近行为提供了广泛的数值证据。

提出的猜想
基于广泛的数值证据和观察，作者推测并提出了一个关于具有 Robin 边界条件的薛定谔算子在连通有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$（具有分段光滑边界）上的 RtN 间隙的统一猜想：

1. 累积平均值： 对于任何 $\sigma \in \mathbb{R}$，
   $$\lim_{n \to \infty} G_n(\sigma) = \frac{2|\partial\Omega|}{|\Omega|}\sigma$$
   且对于较大的 $n$，
   $$G_n(\sigma) = \frac{2|\partial\Omega|}{|\Omega|}\sigma + O(n^{-1/d}).$$
2. 1D 特有性质： 当 $d=1$ 且 $\Omega=(a,b)$ 时，单个间隙满足：
   $$\lim_{n \to \infty} g_n(\sigma) = \frac{4}{b-a}\sigma$$
   且
   $$\lambda^\sigma_n = \lambda^0_n + \frac{4}{b-a}\sigma + O(n^{-2}).$$

意义与主张
本文声称填补了文献中的一项空白，即此前对于计算具有 Robin 边界条件的薛定谔算子的“大量”特征值的精确且高效的数值方法非常有限。通过将有限元的几何灵活性与谱方法的高阶精度相结合，所提出的方法能够解析数千个特征值，而这对于标准的低阶离散化方法而言是无法实现的。

其主要贡献不仅在于算法的开发，更在于对 RtN 间隙进行的系统性数值调查。这种大规模计算为关于 RtN 间隙的统一猜想提供了强大的经验支持，该猜想将代数谱量（累积平均值）直接与区域的几何属性（面积和边界长度）以及 Robin 参数联系起来，即使在存在非平凡势函数的情况下也是如此。这项工作证实了拉普拉斯算子的理论结果，并将这些渐近性的理解扩展到了更一般的薛定谔算子。