Low-Depth Initial-State Preparation for Ground-State Energy Estimation of Two-Dimensional Strongly Correlated Systems

技术摘要：用于二维强关联系统基态能量估计的低深度初始态制备

问题陈述
量子算法（如量子相位估计，QPE）用于基态能量估计时，需要一个与真实基态具有非零重叠度的初始态。成功提取基态能量的概率取决于该保真度（$F_0$）；如果 $F_0$ 随系统规模呈指数级衰减，由于所需的重复次数（$1/F_0$）过高，算法将变得难以实现。虽然变分量子特征值求解器（VQE）提供了一种混合方法，但它们面临着梯度评估成本以及浅层电路经典可模拟性的挑战。此外，将精确的经典近似（例如矩阵乘积态，MPS）编译为量子电路往往会导致过高的电路深度，这对于资源受限（如逻辑比特和魔术态有限）的早期容错量子计算机（FTQC）而言是难以承受的。核心挑战在于设计浅层且资源高效的量子电路，以制备强关联系统（特别是二维 Hubbard 模型）的高保真度初始态，且不依赖于深度的优化循环或经典不可计算性。

方法论
作者提出了一种通过利用二维海森堡模型与半填充 Hubbard 模型之间通过 Schriefer–Wolff (SW) 变换建立的强耦合联系，来构建浅层量子电路的策略。该方法分为三个主要阶段：

1. 海森堡电路构建：

   • 拟设（Ansatz）： 该电路针对反铁磁海森堡模型的 $S=0$（单态）子空间。初始态是在晶格完美匹配上定义的单态二聚体（$| \Phi \rangle$）的乘积。
   • 动力学： 状态通过指数化 SWAP（$e$SWAP）门层进行演化。这些门遵循 SU(2) 对称性，确保状态保持在单态子空间内。
   • 结构： 晶格键被划分为四个不相交的子集（$B_{x0}, B_{x1}, B_{y0}, B_{y1}$）。电路在多个块（$N_b$）中按照特定的序列（$B_{y1} \to B_{y0} \to B_{x1} \to B_{x0}$）应用 $e$SWAP 门。这种结构模仿了海森堡基态的共振价键（RVB）物理特性。
   • 费米子映射： 通过局部幺正嵌入（$V$）引入辅助比特，将自旋态映射到单占据费米子子空间。

2. 通过 SW 门进行的 Hubbard 扩展：

   • 为了捕捉有限 $U/t$ 下 Hubbard 模型中存在的电荷涨落（双占据与空穴），对海森堡电路进行“修饰（dressing）”，使其具备电荷涨落门。
   • 这些门直接从一阶 SW 生成元（$\Omega$）导出，并通过 Suzuki–Trotter 分解近似为两体幺正算符（$W_{\langle i,j \rangle}$）。
   • 最终的变分拟设结合了海森堡演化（$U_B$）和电荷涨落块（$W_B$），并由旋转角 $\theta$ 和 $\phi$ 参数化。

3. 保真度估计与基准测试：

   • 参数传递： 在小规模 $4 \times 4$ 晶格上优化的参数被转移到更大规模的晶格（$6 \times 6$ 至 $10 \times 10$）上，无需进一步优化。
   • 模拟： 使用带有信念传播（BP）引导简单更新的投影纠缠对态（PEPS）对电路状态进行模拟。
   • 保真度界限： 由于大型系统的精确基态未知，作者估计了基态保真度的下界。这是通过以下方式实现的：
     • 计算电路状态与变分蒙特卡洛（VMC）参考态之间的保真度（$F_{ref}$）。
     • 利用参考能量、精确基态能量（来自随机序列展开法，SSE）以及单态激发能隙（$\Delta_0$），确定 VMC 态与精确基态之间的保真度（$F_{ref,0}$）的上界。
     • 应用 Fubini–Study 角的三角不等式来推导 $F_0$ 的严格下界。

主要贡献与结果

• 有效的参数传递： 对于海森堡模型，在 $4 \times 4$ 晶格上优化的参数在无需重新优化的情况下，可为高达 $10 \times 10$ 的晶格提供稳健的保真度下界。具体而言，对于 $N_b=3$，估计的基态保真度下界在 $10 \times 10$ 晶格上仍保持为正值（$\approx 0.028$），表明该初始态适用于振幅放大。
• Hubbard 保真度提升： 在 $4 \times 4$ 晶格上的精确计算表明，引入由 SW 导出的电荷涨落门显著提高了对 Hubbard 基态的保真度。对于 $N_b=4$，通过优化电荷角，保真度从 $\approx 0.44$（仅海森堡）增加到 $\approx 0.89$。
• 资源效率： 作者估计了 $10 \times 10$ 晶格的状态制备成本。假设使用 Clifford+$T$ 合成，且每个旋转误差为 $10^{-5}$，总成本约为 $10^5$ 个 $T$ 门。这使得制备成本处于早期 FTQC 的“兆量级操作（megaquop）”范围内，且显著低于后续基态能量估计算法的成本。
• 可扩展性： 电路深度随晶格键数量（$|B|$）线性缩放，且参数共享策略允许基于小规模系统的优化来构建大规模系统的电路。

意义与主张
本文声称为强关联系统基态能量估计提供了一条低成本初始态制备的有效途径。通过利用海森堡模型与 Hubbard 模型之间的物理联系，作者证明了即使在超越经典精确对角化能力的晶格规模上，浅层电路也能实现非零的基态保真度。结果表明，这些电路是早期 FTQC 时期的理想候选方案，因为在这一阶段，最小化电路深度和 $T$ 门计数至关重要。该工作支持了以下假设：只要参数具有可传递性且保持电路深度较浅，小规模晶格的模拟可以有效地指导大规模（在经典上不可计算的）系统的量子电路设计。作者明确指出，虽然其界限是严格的，但实际保真度可能会更高，未来的工作可以通过更深的哈密顿量变分拟设或更精确的模拟技术（如全更新 PEPS）来进一步完善这些估计。