Measurement-Only Dynamical Phase Transitions in Spin-1 Chains

技术摘要：自旋-1 链中的仅测量动力学相变

问题陈述
本研究调查了在“仅测量”动力学下，相互作用自旋-1 链中不同基态之间的动力学竞争。与保持对称性和拓扑指数的常规幺正演化（在有限深度电路中）不同，作者探索了由强制、归一化的局部投影驱动的非幺正动力学。核心问题是：当一个相互作用的玻色子对称保护拓扑（SPT）相——即 Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki (AKLT) Haldane 态——受到倾向于不同相的竞争性局部投影器作用时，会发生怎样的反应。这些投影器分别倾向于：拓扑平凡的乘积态、显式二聚化的价键固（VBS）态，以及拓扑平凡的次近邻（NNN）AKLT 态。本工作旨在探讨此类非幺正协议是否能驱动这些相之间的转变，以及它们是否能产生或破坏拓扑序和纠缠结构。

方法论
作者在阶梯形电路几何结构中，定义了三种不同的自旋-1（三能级系统）链的仅测量协议。动力学被建模为一系列局部更新，其中在每一步中，以一定的概率 $p$ 应用特定的局部投影器，并对产生的状态进行归一化。这种“强制”投影模拟了虚时演化（MITE），且不通过波恩定则采样测量结果。

三种竞争模型分别为：

1. SPT 向拓扑平凡（TT）态的转变： 最近邻（NN）AKLT 投影器与单个位点 $S^z_i = 0$ 投影器相互竞争。后者倾向于无特征的乘积态 $|0\rangle^{\otimes L}$，将 SU(2) 对称性破缺为 $Z_2 \times Z_2$ 子群。
2. SPT 向二聚体（Dimer）态的转变： NN AKLT 投影器与作用在奇数键上的投影器相互竞争，后者强制产生单态（二聚体）态，通过显式打破平移对称性来偏向 VBS 态。
3. NN 向 NNN AKLT 态的转变： NN AKLT 投影器与 NNN AKLT 投影器相互竞争。NNN 极限使系统解耦为两个交织在偶数和奇数子格上的 AKLT 链。在混合动力学所保持的对角 $Z_2 \times Z_2$ 对称性下，该 NNN 态在拓扑上是平凡的，尽管它保留了纠缠结构。

模拟技术

• 矩阵乘积态 (MPS)： 用于 SPT–TT 和 SPT–dimer 模型，其中纠缠度处于可控范围（面积律）。
• 精确态矢量演化： 由于 NN–NNN AKLT 模型中存在导致 MPS 键维数呈指数级增长的高纠缠临界相，必须使用此方法。这限制了模拟的系统尺寸为 $L \leq 16$。
• 诊断指标： 相及相变通过以下手段表征：
  • 非局部弦序参数 (SOP)： 用于检测隐藏的反铁磁序和 SPT 相。
  • 局部二聚体序： 用于检测显式的对称性破缺。
  • 纠缠标度： 半切分双体纠缠熵 ($S(L/2)$) 及其在不同轨迹中的方差。
  • 有限尺寸标度： 通过分析序参数和纠缠来提取临界指数（$\nu, \beta, z$）并确定临界点 ($p_c$)。

主要结果

1. SPT 向拓扑平凡乘积态的转变：

   • 在临界概率 $p_{TT,c} \approx 0.50$ 处发生连续相变。
   • 在 $p_c$ 以下，系统保持在 Haldane SPT 相，具有有限的弦序和面积律纠缠（$S \approx 2$）。
   • 在 $p_c$ 以上，系统坍缩为无纠缠的乘积态，弦序消失。
   • 在临界点，弦序呈代数衰减，纠缠随系统尺寸呈对数增长（$S \sim \alpha \ln L$），其系数 $\alpha \approx 0.48$。动力学指数 $z \approx 1.16$。

2. SPT 向显式二聚化 VBS 态的转变：

   • 在临界概率 $p_{D,c} \approx 0.34$ 处发生连续相变。
   • 该转变以 NN 弦序消失和交错二聚体序的出现为标志。
   • 临界行为包括对数纠缠增长，其系数（$\alpha \approx 0.37$）小于 SPT–TT 转变。动力学指数 $z \approx 1.08$。

3. NN AKLT 向 NNN AKLT 态的转变：

   • 该模型展现了一个更复杂的相图，其特征是两个连续相变被一个扩展临界区域所分隔。
   • NN AKLT（拓扑非平凡）相在 $p^{(2)}_{nnn,c} \approx 0.28$ 处向临界相转变。
   • 该临界相在 $p^{(1)}_{nnn,c} \approx 0.64$ 处向 NNN AKLT 相（在对角对称性下为拓扑平凡）转变。
   • 在中间区域，NN 和 NNN 弦序参数均随系统尺寸呈代数方式消失，且纠缠增长的系数（$\alpha \approx 2.2 - 2.6$）显著高于其他转变。
   • 模拟该区域所需的键维数呈指数级增长，证实了存在与高纠缠一致的无能隙临界相。

意义与主张
本文声称将监测量子动力学和测量诱导相变 (MIPT) 的研究从自由费米子系统扩展到了相互作用的玻色子 SPT 相。其主要贡献在于：

• 对拓扑与 VBS 序的控制： 研究表明，局部非幺正投影可以确定性地驱动不同拓扑相与对称性破缺相之间的转变，从而有效地控制系统的序。
• 竞争 SPT 中的临界区域： 识别出分隔两个不同 AKLT 类状态（一个拓扑非平凡，一个平凡）的扩展临界区域，这表明竞争性的非幺正投影器可以稳定具有对数纠缠标度的无能隙相，这与端点处的面积律相不同。
• 普适性与指数： 计算出的临界指数和动力学指数（$z \approx 1$）与共形不变的临界渗流极限一致，这表明即使在相互作用的玻色子系统中，测量诱导相变也具有某种普适性。
• 局限性： 作者谦逊地指出，虽然有限尺寸特征（$L \leq 16$）有力地支持了 NN–NN 模型的扩展临界区域的存在，但由于模拟限制，该相在热力学极限下的持续性尚未得到严格确立。

研究结论认为，仅测量动力学为探索量子多体系统中拓扑、对称性破缺与纠缠之间的相互作用提供了一个稳健的框架，揭示了纯粹由局部投影测量竞争驱动的丰富相结构。